Để giải bài toán này, ta cần xét phản ứng giữa Ca(OH)₂ và CO₂:

1. Phản ứng giữa Ca(OH)₂ và CO₂ xảy ra như sau:
\[
\text{Ca(OH)}_2 + \text{CO}_2 \rightarrow \text{CaCO}_3 + \text{H}_2\text{O}
\]

2. Số mol của Ca(OH)₂ trong dung dịch là \( a \) mol.

Khi sục \( b \) mol CO₂ vào dung dịch, ta có số mol CaCO₃ kết tủa:
- Các phản ứng xảy ra sẽ tiêu rất ít Ca(OH)₂ mà sản phẩm là CaCO₃.
- Ta cần xác định lượng CO₂ cần thiết để phản ứng với hết lượng Ca(OH)₂ có.

3. Số mol CO₂ cần thiết để phản ứng hết với \( a \) mol Ca(OH)₂ là \( a \) mol. Do đó, nếu \( b \) mol CO₂ sục vào và kết tủa sinh ra là:
\[
b \text{ mol CO}_2 \text{ tạo ra } b \text{ mol CaCO}_3
\]
Vậy số kết tủa sẽ là \(\min(a, b)\).

4. Khi sục \( 2b \) mol CO₂ vào, lượng Ca(OH)₂ vẫn là \( a \) mol, và CO₂ phản ứng cũng là:
\[
2b \text{ mol CO}_2 \rightarrow a \text{ mol CaCO}_3
\]
Lượng kết tủa tạo ra vẫn sẽ là \( a \) nhưng có thể nhiều hơn \( b \).

5. Theo giả thuyết đề bài, lượng kết tủa sinh ra từ cả hai trường hợp bằng nhau. Vậy ta có:
\[
b = a
\]
và
\[
a \leq 2b
\]

6. Tính tỷ số \( \frac{a}{b} \):
- Từ \( b = a \) thì suy ra:
\[
\frac{a}{b} = 1
\]

Do đó, tỉ số \( \frac{a}{b} = 1 \).