Để giải bài toán, chúng ta sẽ phân tích và chứng minh các yêu cầu một cách tỉ mỉ.

**a) Chứng minh: H là trung điểm của MN.**

Gọi O là tâm của đường tròn (O) và r = 6cm là bán kính của đường tròn. Khi đó, OA = 6cm và H là trung điểm của OA, nên:

\[
AH = \frac{OA}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}
\]

Giả định điểm A nằm trên đường tròn và ta có đường thẳng OA. Theo bài toán, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với OA, cắt đường tròn tại M và N.

Xét tam giác OAH, vì H là trung điểm của OA, từ đó có OH vươn ra ngoài theo hướng vuông góc với OA, tạo thành một cạnh vuông với cạnh OA.

Hãy chứng minh rằng OM = ON.

- Gọi O là (0,0) trong mặt phẳng tọa độ, điểm A có tọa độ (6, 0) (vì A nằm trên đường tròn).
- H tọa độ có thể là (3, 0), vì H là trung điểm của OA.
- Đường thẳng vuông góc với OA tại H có thể biểu diễn bằng phương trình y = m(x-3), với m là hệ số góc vuông vuông góc với OA (m = ∞).

Khi đường thẳng này cắt đường tròn (O) với phương trình \(x^2 + y^2 = 36\) thì sẽ có 2 giao điểm (M, N) đều cách H một đoạn bằng nhau, tức:

\[
HM = HN
\]

Suy ra H là trung điểm của MN.

**b) Chứng minh: Tam giác OAM đều.**

Khi xét tam giác OAM:

- OA = 6cm (bán kính của đường tròn)
- OM = ON đều bằng bán kính của đường tròn.
- Xét điểm H như đã phân tích, ta thấy OH = 3cm, điều này cùng với OA = 6cm cho thấy tam giác OAH là tam giác vuông với OH = 3cm, do vậy OA^2 = OH^2 + AH^2 ⇒ OA^2 = 3^2 + 3^2 = 18.

Qua đó, tam giác OAH sẽ có các cạnh bằng nhau (OA = OH = AH = 3√2), từ đó ta suy ra tam giác OAM đều.

**c) Tính độ dài dây cung MN.**

Ta biết rằng MN là dây cung, và theo tính chất dây cung trong đường tròn, dây cung MN là dây cung nằm trên bán kính OO’ vuông góc với OA.

Chiều dài dây cung MN có thể tính bằng công thức:

\[
MN = 2r \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
\]

Lưu ý rằng \( \theta \) là góc ở tâm ứng với dây cung MN. Trong tam giác đều OAH, ta có:

\(\theta = 60^\circ\), cho ra

\[
MN = 2 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài dây cung MN là 6 cm.

Tổng kết lại:
- a) H là trung điểm của MN.
- b) Tam giác OAM đều.
- c) Độ dài dây cung MN là 6 cm.