Để giải bài toán về hình bình hành ABCD với AB < AD, ta sẽ phân tích từng phần của câu hỏi.

### a) Tam giác ABM là tam giác gì?

- **Tính chất**: Trong hình bình hành ABCD, có các cạnh AB và AD, từ đó ta có góc B và D. Tia phân giác của góc B và D cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại M và N.
- Theo định nghĩa, tam giác ABM có các đỉnh là A, B, và M.
- Vì AB < AD và M là điểm trên cạnh AD là tia phân giác của góc B, nên:
- Góc BAM và góc DAB sẽ có mối quan hệ tỉ lệ với nhau, do đó tạo thành mối liên kết giữa các cạnh.
- Từ đó, ta có thể nói rằng tam giác ABM là một tam giác tù hoặc nhọn tùy thuộc vào độ lớn của các góc.

### b) Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành

Để chứng minh rằng tứ giác BMDN là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện trong tứ giác này bằng nhau.

1. **Góc B và D**: Do M là điểm trên AD, và N là điểm trên BC, và M là tia phân giác của góc B (có nghĩa là BM/NB = AB/AD) và D (có nghĩa là DN/NC = AD/AB).

2. **Sử dụng định nghĩa của tia phân giác**: Theo định nghĩa của tia phân giác, chúng ta có thể viết:
- \( \frac{AM}{MD} = \frac{AB}{AD} \)
- \( \frac{BN}{NC} = \frac{BC}{AD} \)

Điều này dẫn đến hệ trái nhau giữa các cạnh do AB < AD => nên có mối liên hệ về tỷ lệ.

3. **Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau**:
- Ta thấy rằng, trong tứ giác BMDN, ta cần chứng minh rằng BM và DN bằng nhau và MD và BN cũng bằng nhau.
- Điều này có thể được chỉ ra thông qua việc áp dụng định lý phân giác (Theo định luật góc) tại các điểm M và N, do góc BMD và DNB là góc đối xứng với nhau bên dưới tia phân giác.

4. **Kết luận**: Khi hoàn thành các bước này, chúng ta sẽ có tứ giác BMDN với các cạnh đối diện bằng nhau, do đó, BMDN là hình bình hành.

Tóm lại, tam giác ABM phụ thuộc vào cấu trúc của tứ giác ABM, trong khi BMDN là hình bình hành do mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tứ giác.