Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = a(a^2 + 2b) + b(b^2 - a) \) với điều kiện \( a + b = 1 \), ta có thể thay \( b \) bằng \( 1 - a \).

Thay vào biểu thức \( A \):

\[
A = a(a^2 + 2(1-a)) + (1-a)((1-a)^2 - a)
\]

Biến đổi biểu thức:

1. **Tính \( 2(1-a) \):**
\[
A = a(a^2 + 2 - 2a) + (1-a)((1 - 2a + a^2) - a)
\]
\[
= a(a^2 - 2a + 2) + (1-a)(1 - 3a + a^2)
\]

2. **Tính từng phần:**
\[
a(a^2 - 2a + 2) = a^3 - 2a^2 + 2a
\]
\[
(1-a)(1 - 3a + a^2) = 1 - 3a + a^2 - a + 3a^2 - a^3 = 1 - 4a + 4a^2 - a^3
\]

3. **Kết hợp lại:**
\[
A = (a^3 - 2a^2 + 2a) + (1 - 4a + 4a^2 - a^3)
\]
\[
= 1 + 2a^2 - 2a
\]

4. **Rút gọn:**
\[
= 1 + 2a^2 - 2a
\]

Bây giờ, để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), ta có thể tính đạo hàm và tìm nghiệm:

\[
\frac{dA}{da} = 4a - 2
\]
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm cực trị:

\[
4a - 2 = 0 \implies a = \frac{1}{2}
\]

Khi \( a = \frac{1}{2} \), thì \( b = \frac{1}{2} \).

5. **Tính giá trị của \( A \)** tại điểm này:

\[
A = 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right)
\]
\[
= 1 + 2\cdot\frac{1}{4} - 1 = 1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}
\]

Cuối cùng, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:

\[
\text{GTNN của } A = \frac{1}{2}
\]