Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính MN, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C, D tương ứng cắt MN tại H và K. Chứng minh MH = NK

Để chứng minh \( MH = NK \) trong bài toán hình học này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của nửa đường tròn và tam giác vuông.

### Các bước chứng minh:

1. **Gọi các điểm**:
- Xét nửa đường tròn tâm \( O \) và đường kính \( MN \).
- Dây cung \( CD \) và các đường vuông góc với \( CD \) tại \( C \) và \( D \), cắt đường thẳng \( MN \) tại \( H \) và \( K \).

2. **Cấu trúc hình**:
- Ta có tam giác vuông \( OHC \) và \( OKD \) (bởi vì \( OH \perp CD \) và \( OK \perp CD \)).

3. **Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau**:
- Xét tam giác vuông \( OHC \):
- \( OC \) là bán kính nên \( OC = R \).
- Trong tam giác vuông \( OHC \), theo định lý Pytago ta có:
\[
OH^2 + CH^2 = OC^2
\]
(1)

- Xét tam giác vuông \( OKD \):
- Tương tự, ta có \( OD = R \), và theo định lý Pytago:
\[
OK^2 + DK^2 = OD^2
\]
(2)

4. **So sánh các đoạn thẳng**:
- Bởi vì \( OC = OD \), ta có từ (1) và (2):
\[
OH^2 + CH^2 = OK^2 + DK^2
\]

5. **Kết luận**:
- Do \( CH = DK \) (cùng là chiều cao từ điểm H và K xuống dây CD), suy ra:
\[
MH = OH \text{ và } NK = OK
\]
- Do đó, ta có:
\[
MH = NK
\]

### Kết thúc:
Vậy ta đã chứng minh được \( MH = NK \).