Tìm x nguyên dương để 3 -x / x+ 1 nguyên

Để giải bài toán tìm \( x \) nguyên dương sao cho biểu thức \( \frac{3 - x}{x + 1} \) là một số nguyên, ta thực hiện các bước như sau:

1. Gọi \( k = \frac{3 - x}{x + 1} \) với \( k \) là số nguyên.
2. Biến đổi phương trình để tìm giá trị của \( x \):
\[
k(x + 1) = 3 - x
\]
\[
kx + k = 3 - x
\]
\[
(k + 1)x = 3 - k
\]
\[
x = \frac{3 - k}{k + 1}
\]

3. Để \( x \) là số nguyên dương, thì \( 3 - k \) phải chia hết cho \( k + 1 \) và \( x > 0 \).

4. Để \( x > 0 \), ta có:
\[
3 - k > 0 \Rightarrow k < 3
\]
Điều này có nghĩa là \( k \) có thể nhận các giá trị nguyên là \( 1 \) và \( 2 \).

5. Xem xét từng trường hợp của \( k \):

- **Trường hợp 1**: \( k = 1 \)
\[
x = \frac{3 - 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1
\]

- **Trường hợp 2**: \( k = 2 \)
\[
x = \frac{3 - 2}{2 + 1} = \frac{1}{3} \quad \text{(không phải là số nguyên)}
\]

6. Vậy, giá trị duy nhất của \( x \) nguyên dương thỏa mãn bài toán là \( x = 1 \).

**Kết luận**: Giá trị của \( x \) là \( 1 \).