Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại M. Chứng minh AM là đường trung tuyến của tam giác ABC

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần:

### a) Chứng minh AM là đường trung tuyến của tam giác ABC:
- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, suy ra \( AB = AC \).
- M là điểm phân giác của góc BAC, điều này có nghĩa là \( \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = 1 \), từ đó suy ra \( BM = MC \).
- Từ đó, ta kết luận rằng AM là đường trung tuyến, vì AM cắt BC tại M, mà M chia BC thành hai đoạn bằng nhau.

### b) Chứng minh N là trung điểm của AC:
- Gọi N là điểm mà đường thẳng đi qua M song song với AB cắt AC tại N.
- Vì AB song song với MN, và với AM là phân giác, theo tính chất của các đường song song, ta có \( AN = AC \) và \( BM = CM \).
- Từ đó, trong tam giác AMN, ta có \( \frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BM} \), và vì BM = CM nên AN = NC.
- Suy ra N là trung điểm của AC.

### c) Chứng minh AG > 2GM:
- Gọi G là giao điểm của AM và BN, trong đó N là trung điểm của AC.
- Theo định lý Ceva, từ điểm G trong tam giác ABC ta có tỉ số: \( AG \cdot AC = BG \cdot AB \).
- Ta sẽ áp dụng mối liên hệ về khoảng cách và tỉ lệ, kết hợp với tính chất của hình thang, từ đó chỉ ra AG lớn hơn một số lượng nhất định so với GM.
- Xem xét diện tích của tam giác, vì N là trung điểm của AC và G nằm trên AM, cần phải chứng minh mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

### d) Chứng minh AB + AC + BC > 3AG:
- Áp dụng định lý bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC, ta có \( AB + AC > BC \).
- Tổng cộng các bất đẳng thức sẽ cho ta \( AB + AC + BC > BC + BC \).
- Từ đó, ta có thể thay thế và chứng minh đủ điều kiện trong mối quan hệ với AG, với sự liên hệ giữa các đoạn thẳng và mối liên hệ của chúng với điểm G, N, M.

Tất cả các phần trên cần các bước chứng minh cụ thể và chi tiết hơn, nhưng đây là tổng quát cho các yêu cầu của bài toán. Jika ada yang ingin ditanyakan lebih lanjut, silakan!