Để chứng minh rằng nếu \( a^2 + b^2 \) chia hết cho 2 thì \( (a + b) \) cũng chia hết cho 2, ta sẽ xem xét các trường hợp có thể xảy ra với \( a \) và \( b \).

**1. Các trường hợp của \( a \) và \( b \)**:
- Mỗi số tự nhiên \( a \) và \( b \) có thể là chẵn (0) hoặc lẻ (1) khi chia cho 2.

Chúng ta có thể lập bảng để xét từng trường hợp của \( a \) và \( b \):

| \( a \mod 2 \) | \( b \mod 2 \) | \( a^2 + b^2 \mod 2 \) | \( a + b \mod 2 \) |
|-------------------|-------------------|----------------------------|-----------------------|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |

**2. Phân tích kết quả**:
- Khi \( a \) và \( b \) đều chẵn, thì \( a^2 + b^2 \) chia hết cho 2 và \( a + b \) cũng chia hết cho 2.
- Khi \( a \) và \( b \) đều lẻ, thì \( a^2 + b^2 \) cũng chia hết cho 2 và \( a + b \) cũng chia hết cho 2.
- Trong các trường hợp khác (1 chẵn, 1 lẻ), \( a^2 + b^2 \) không chia hết cho 2.

**Kết luận**:
Từ bảng trên, ta thấy rằng \( a^2 + b^2 \) chia hết cho 2 khi và chỉ khi \( a \) và \( b \) đều chẵn hoặc đều lẻ, và trong cả hai trường hợp đó, \( a + b \) cũng chia hết cho 2. Vậy ta đã chứng minh xong.