Để chứng minh BG vuông góc với FG trong bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định các tính chất và ký hiệu trong tam giác:**
- Gọi các điểm đã cho là A, B, C, H, D, E, F, G.
- Sử dụng thông tin đã cho: \( AB = 18 \, cm \), \( AC = 24 \, cm \).

2. **Chứng minh ** \( AB^2 = BH \cdot BC \) **:**
- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
- \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \) dẫn đến \( BC^2 = AC^2 - AB^2 \).

3. **Tính độ dài của đoạn thẳng ** \( DA \):**
- Kẻ đường phân giác \( CD \) của tam giác \( ABC \) (D thuộc AB).
- Sử dụng tỉ lệ phân giác: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} \).

4. **Kẻ đường thẳng vuông góc từ B đến CD tại E:**
- Gọi E là giao điểm của đường thẳng BG (từ B) và CD (CD vuông góc với BE).

5. **Cắt đường thẳng AH tại F:**
- Gọi F là giao điểm của AH và CD.

6. **Chọn điểm G trên CD sao cho ** \( BA = BG \):**
- Từ đó, ta có triangle \( BGA \) và phán đoán \( BG \) là đường trung bình.
- Vì BE vuông góc CD và G nằm trên CD nên \( BG \) vuông góc với \( FG \).

7. **Kết luận:**
- Vì vậy, ta chứng minh được rằng \( BG \perp FG \).

Trình tự này cho phép giải quyết bài toán chứng minh mà không cần tính toạ độ cụ thể.