Để giải bài toán, trước hết ta thiết lập các ký hiệu cho chiều dài (\(l\)) và chiều rộng (\(w\)) của hình chữ nhật.

Chu vi của hình chữ nhật được cho là 420 m:

\[
2l + 2w = 420
\]

Rút gọn phương trình:

\[
l + w = 210 \quad (1)
\]

Theo đề bài, nếu tăng chiều dài thêm hai chiều dài nữa (\(2l\)) và tăng chiều rộng thêm ba chiều rộng nữa (\(3w\)), ta có được hình vuông. Nghĩa là:

\[
2l + 3w = s \quad (2)
\]
\[
s = w + 3w = 4w \quad (s là cạnh của hình vuông)
\]

Từ (2) ta có:

\[
2l + 3w = 4w
\]

Giải phương trình này:

\[
2l = 4w - 3w
\]
\[
2l = w \quad (3)
\]

Thay (3) vào (1):

\[
l + \frac{w}{2} = 210
\]

Giải phương trình này, ta thay \(w\) từ (3) vào (1):

1. Từ (3) suy ra \(w = 2l\).
2. Thay vào chu vi:

\[
l + 2l = 210
\]
\[
3l = 210
\]
\[
l = 70 \quad \text{m}
\]

Thay \(l\) vào (3):

\[
w = 2 \times 70 = 140 \quad \text{m}
\]

Diện tích hình chữ nhật là:

\[
S = l \times w = 70 \times 140 = 9800 \quad \text{m}^2
\]

Vậy diện tích hình chữ nhật là **9800 m²**.