Để tìm giá trị của \( a \) làm cho hai phân thức

\[
\frac{x}{x+1}
\]

và

\[
\frac{ax^2 - a x}{x^2 - 1}
\]

bằng nhau, ta thực hiện các bước sau:

1. **Đặt hai phân thức bằng nhau:**
\[
\frac{x}{x+1} = \frac{ax^2 - ax}{x^2 - 1}
\]

2. **Rút ngọn và nhân chéo:**
\[
x(x^2 - 1) = (ax^2 - ax)(x + 1)
\]

3. **Giải phương trình:**
Sau khi nhân chéo, ta được:
\[
x^3 - x = ax^3 + ax^2 - ax^2 - ax
\]
\[
x^3 - x = ax^3 - ax
\]
\[
x^3 - ax^3 = -ax + x
\]
\[
(1 - a)x^3 = (1 - a)x
\]

4. **Nhận xét và giải cho \( a \)**:
Nếu \( 1 - a \neq 0 \), ta có thể chia cả hai bên cho \( 1 - a \):
\[
x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -1
\]

Nếu \( 1 - a = 0 \), thì \( a = 1 \).

5. **Kiểm tra giá trị \( a \)**:
- Nếu \( a = 1 \), ta kiểm tra lại:
- Khi \( a = 1 \):
\[
\frac{x}{x+1} = \frac{x^2 - x}{x^2 - 1} = \frac{x(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}
\]
Như vậy hai phân thức sẽ bằng nhau đối với \( x \neq 1 \).

Dựa vào các phân tích trên, giá trị \( a \) đúng là **1**.

**Đáp án: A. 1**.