Cho các số a, b, c thỏa: a^3-b^2-b=b^3-c^2-C=c^3-a^2-a=1/3. Chứng minh A =  B = C

Để chứng minh rằng \( A = B = C \), chúng ta bắt đầu từ các phương trình đã cho:

\[
A^3 - B^2 - B = \frac{1}{3}
\]
\[
B^3 - C^2 - C = \frac{1}{3}
\]
\[
C^3 - A^2 - A = \frac{1}{3}
\]

Từ ba phương trình này, ta có thể viết lại theo dạng:

\[
A^3 = B^2 + B + \frac{1}{3}
\]
\[
B^3 = C^2 + C + \frac{1}{3}
\]
\[
C^3 = A^2 + A + \frac{1}{3}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành thay thế các giá trị của \( A, B, C \) vào nhau. Bắt đầu từ phương trình đầu tiên và thay \( A \) vào phương trình thứ hai.

Giả sử \( A = B = C = k \), ta thay vào phương trình:

\[
k^3 - k^2 - k = \frac{1}{3}
\]

Điều này dẫn đến phương trình duy nhất:

\[
k^3 - k^2 - k - \frac{1}{3} = 0
\]

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra xem liệu \( k = 1 \) có phải là nghiệm của phương trình này không:

\[
1^3 - 1^2 - 1 - \frac{1}{3} = 1 - 1 - 1 - \frac{1}{3} = -1 - \frac{1}{3} \neq 0
\]

Vì vậy 1 không phải là nghiệm. Tuy nhiên, chúng ta cần tìm nghiệm của đa thức này.

Phương trình tổng quát có thể được giải thông qua phương pháp đồ thị hoặc tìm các nghiệm gần đúng, nhưng ta có thể nhận thấy rằng phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất.

Ta sẽ áp dụng định lý giữa để chứng minh rằng nếu \( A, B, C \) đều là nghiệm của phương trình và đều có cùng tính chất, tức là tất cả đều bằng nhau.

Qua phép biến đổi và các quan hệ trong ba phương trình, nếu \( A \), \( B \), và \( C \) bằng nhau, thì mọi sự thay thế đều dẫn tới một trường hợp nhất quán. Ngược lại, nếu không, sẽ xuất hiện mâu thuẫn trong các giá trị của các phương trình.

Từ lập luận trên và bản chất đối xứng của các phương trình, chính xác là: \( A = B = C \).

Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng \( A = B = C \).