Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB; N là trung điểm của CD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành trong hình bình hành ABCD với M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### Câu a: Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành

1. **Xét các vectơ:**
- Gọi \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \) và \( \vec{D} \) lần lượt là các điểm tương ứng của hình bình hành ABCD trong hệ tọa độ.
- Do M và N là trung điểm, ta có:
\[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \quad \text{và} \quad \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}
\]

2. **Tính chất của hình bình hành:**
- Ta biết rằng trong một hình bình hành, các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, ta có:
\[
\vec{B} - \vec{A} = \vec{C} - \vec{D}
\]

3. **Chứng minh hai cặp cạnh đối diện AM và CN bằng nhau:**
- Tính vectơ AM và CN như sau:
\[
\vec{AM} = \vec{M} - \vec{A} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{A} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2}
\]
\[
\vec{CN} = \vec{N} - \vec{C} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{C} = \frac{\vec{D} - \vec{C}}{2}
\]

4. **Chứng minh hai cặp cạnh AM và CN song song:**
- Ta có:
\[
\vec{N} - \vec{M} = \left( \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \right) = \frac{(\vec{C} + \vec{D}) - (\vec{A} + \vec{B})}{2}
\]

Như vậy, từ tính chất của hình bình hành, trung điểm M và N sẽ dẫn đến:
\[
\vec{N} - \vec{M} \parallel \vec{A} - \vec{C}
\]
và
\[
\vec{C} - \vec{D} = \vec{B} - \vec{A} \implies \vec{N} - \vec{M} = \vec{C} - \vec{D}
\]

Do đó, tứ giác AMCN có cặp cạnh đối diện vừa bằng nhau vừa song song, ta kết luận rằng AMCN là hình bình hành.

### Câu b: Chứng minh AN // CM và góc \( \angle BMB = \angle DNB \)

1. **Chứng minh AN // CM:**
- Từ các vectơ đã thiết lập, ta có:
\[
AN = \vec{N} - \vec{A} \quad \text{và} \quad CM = \vec{M} - \vec{C}
\]
- Từ các tính chất của hình bình hành:
\[
\vec{B} - \vec{A} = \vec{C} - \vec{D}
\]
Vậy \(\vec{A} - \vec{B} // \vec{D} - \vec{C}\) và do đó AN // CM.

2. **Chứng minh góc \( \angle BMB = \angle DNB \):**
- Do M và N là trung điểm nên ta có:
\[
\angle BMB = \angle DNB
\]
- Điều này xuất phát từ thực tế rằng hai angle này đều cắt nhau tại các trung điểm: kẻ đoạn thẳng từ M nối với B và D sẽ tạo giác xung quanh đều nhau.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành với các tính chất của song song và bằng nhau được xác nhận.