Để giải phương trình \((x + 2)^2 - (x + 3)^2 + (x + 4)(x - 4) = 0\), ta sẽ thực hiện các bước tính toán như sau:

1. **Tính \((x + 2)^2\) và \((x + 3)^2\)**:
\[
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
\]
\[
(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
\]

2. **Tính hiệu hai bình phương**:
\[
(x + 2)^2 - (x + 3)^2 = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 + 6x + 9) = -2x - 5
\]

3. **Tính \((x + 4)(x - 4)\)** (sử dụng công thức nhân hai nhị thức):
\[
(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16
\]

4. **Kết hợp vào phương trình**:
Thay thế các kết quả trên vào phương trình ban đầu:
\[
-2x - 5 + (x^2 - 16) = 0
\]

5. **Rút gọn phương trình**:
\[
x^2 - 2x - 21 = 0
\]

6. **Giải phương trình bậc hai**:
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong đó \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -21\):
\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 84}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{2}
\]

\(\sqrt{88} = 2\sqrt{22}\), nên:
\[
x = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{2} = 1 \pm \sqrt{22}
\]

7. **Kết luận**:
Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = 1 + \sqrt{22} \quad \text{hoặc} \quad x = 1 - \sqrt{22}
\]