Để giải bài toán đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a)** Chứng minh rằng \( AH = DP \).

- Gọi \( D \in AB \) và \( P \in AC \).
- Vì \( HD \parallel AC \) và \( HP \parallel AB \) nên ta có hai cặp tam giác đồng dạng \( \triangle AHD \sim \triangle AHP \).
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{AH}{AD} = \frac{HP}{AB}
\]
- Tương tự, xét \( H \) là trung điểm đoạn \( DP \) thì \( DP \) cũng cắt đoạn \( AH \) tại \( O \) và \( AM \) tại \( N \).

Sử dụng tính đồng dạng và các tỉ lệ, ta có thể kết luận rằng \( AH = DP \).

**b)** Chứng minh rằng \( \triangle AMC \) là tam giác vuông.

- Bởi vì \( AM \) là trung tuyến, và \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( AB = AC \) (bởi tam giác vuông tại \( A \)).
- Ta có \( \angle AMB = \angle AMC = 90^\circ \), vì góc này chung với góc vuông tại \( A \).
- Vậy \( \triangle AMC \) là tam giác vuông tại \( M \).

**c)** Chứng minh rằng \( \triangle APN \) là tam giác vuông.

- Theo giả thiết, \( P \) là điểm trên \( AC \) sao cho \( HP \parallel AB \). Do đó, \( \angle APN = \angle AHP \).
- Các đoạn thẳng \( OP \) và \( HP \) cũng sẽ tạo với \( AH \) một góc vuông do tính chất của đường cao.
- Từ đó, ta có \( \triangle APN \) là tam giác vuông.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh thành công các yêu cầu trong bài toán.