Để giải bài toán này, ta đặt số quyển sách Toán là \( x \) và số quyển sách Ngữ Văn là \( y \).

Theo đề bài, có hai phương trình chính:

1. Tổng số sách:
\[
x + y = 245
\]

2. Số sách đã dùng:
Nhà trường đã dùng \( \frac{1}{2}x \) sách Toán và \( \frac{2}{3}y \) sách Ngữ Văn để phát cho học sinh, nên:
\[
\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y
\]

Theo đề bài, sau khi phát sách, các bạn vẫn nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách Ngữ văn. Suy ra, số sách còn lại là:
- Sách Toán còn lại: \( x - \frac{1}{2}x - 1 = \frac{1}{2}x - 1 \)
- Sách Ngữ Văn còn lại: \( y - \frac{2}{3}y - 1 = \frac{1}{3}y - 1 \)

Bây giờ, có thể giả định không có giới hạn về việc phát sách cho học sinh, tức là:
\[
\frac{1}{2}x - 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad \frac{1}{3}y - 1 \geq 0
\]

Giải từng phần:
- Từ \( \frac{1}{2}x - 1 \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 2 \)
- Từ \( \frac{1}{3}y - 1 \geq 0 \) ⇒ \( y \geq 3 \)

Bây giờ, ta sử dụng phương trình \( x + y = 245 \) để giải:

Từ phương trình \( x + y = 245 \), ta có:
\[
y = 245 - x
\]

Thay vào điều kiện:
\[
\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}(245 - x) \text{ là tổng số đã phát ra.}
\]

Giải hệ này sẽ giúp ta tìm số quyển sách Toán và Ngữ Văn.

Cuối cùng, để kết luận, sau khi tính toán sẽ tìm được số lượng sách Toán và sách Ngữ Văn mà Hội Khuyến học tặng cho trường A.