Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 60°. Trên BC lấy H sao cho HB = BA, từ H kẻ HD vuông góc với BC cắt AC tại D

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số định lý về hình học trong tam giác vuông cũng như một số tính chất về các cạnh và góc.

**Giả thiết:** Tam giác ABC vuông tại A với B = 60°. Trên BC, ta có H sao cho HB = BA. Kẻ HD vuông góc với BC cắt AC tại D.

### a) Chứng minh: Tam giác ABD = Tam giác HBD

Ta sẽ chứng minh rằng hai tam giác ABD và HBD bằng nhau.

1. **Xét góc ABD:**
- Trong tam giác ABC, có góc BAC = 90° và B = 60°, do đó góc ABC = 30°.
- Vì H nằm trên chiều mở rộng của BC và HB = BA (theo giả thiết), ta có HB = AB và góc BAH = 60°.
- Do đó, góc ABD = góc BAH = 60°.

2. **Xét góc HBD:**
- Vì HB = AB (theo giả thiết), vậy tam giác HBD có HB = AB, tức là độ dài hai cạnh góc đối là giống nhau.
- Hơn nữa, góc HBD cũng bằng góc ABD = 60° (như đã chứng minh).

3. **Xét cạnh BD:**
- Vì HD vuông góc với BC, ta có góc HDB = 90° và góc ADB = 90° (do cả hai điểm D và B nằm trên đường thẳng BC).

Kết luận: Có hai cặp góc tương ứng (ABD và HBD) bằng nhau cùng với cạnh AB = HB, do đó theo tiêu chuẩn góc-góc-cạnh (A-A-C), ta có:

**Tam giác ABD = Tam giác HBD.**

### b) Chứng minh: BC - BA > DC - DA

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này bằng cách sử dụng chiều dài các cạnh và các góc trong tam giác.

1. Từ tam giác ABD và HBD:
- Do chiều dài các cạnh của tam giác ABD và HBD được xác lập từ tam giác vuông tại A và H:
- BC = AB + AC (theo định nghĩa của tam giác).
- BA là một trong các cạnh của tam giác vuông ABC.

2. Do HB = BA, suy ra:
- BC = HB + AC = BA + AC.

3. Từ tính chất của các góc, do D nằm trên AC, suy ra HD là đường hạ từ H xuống BC, nên:
- DC < AC (vì D là giao điểm trên AC).
- Do đó: DC - DA < AC - DA.

4. Khi đó ta có thể viết lại như sau:
- BC - BA = AC > DC - DA (vì DC < AC).

Kết luận: Từ các bước trên, ta có thể kết luận được rằng:

**BC - BA > DC - DA.**

Vậy ta đã hoàn thành chứng minh cho hai phần của bài toán.