Để chứng minh bất đẳng thức \( OA + OB + OC + OD < P \) và \( OA + OB + OC + OD > 2OA \), với \( P \) là chu vi của tứ giác \( ABCD \), ta thực hiện như sau:

1. **Tính chu vi của tứ giác:**
\[
P = AB + BC + CD + DA
\]

2. **Sử dụng định lý Tam Giác:**
Áp dụng định lý tam giác cho mỗi tam giác \( OAB, OBC, OCD, ODA \):
- Trong tam giác \( OAB \):
\[
OA + OB > AB
\]
- Trong tam giác \( OBC \):
\[
OB + OC > BC
\]
- Trong tam giác \( OCD \):
\[
OC + OD > CD
\]
- Trong tam giác \( ODA \):
\[
OD + OA > DA
\]

3. **Cộng tất cả các bất đẳng thức trên:**
\[
(OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OD + OA) > AB + BC + CD + DA
\]
Rút gọn, ta có:
\[
2(OA + OB + OC + OD) > P
\]
Từ đó suy ra:
\[
OA + OB + OC + OD > \frac{P}{2}
\]

4. **Tính tổng các đoạn thẳng từ \( O \) đến các đỉnh**:
Suy diễn và loại suy từ các tam giác ta đã xem xét, ta có thể thấy rằng tổng \( OA + OB + OC + OD \) sẽ luôn nhỏ hơn chu vi \( P \) vì không thể vượt quá tổng chiều dài của các cạnh của tứ giác.

5. **Kết luận**:
Kết hợp các kết quả trên, ta có:
\[
\frac{P}{2} < OA + OB + OC + OD < P
\]

Như vậy, chứng minh đã hoàn tất với \( OA + OB + OC + OD < P \) và \( OA + OB + OC + OD > \frac{P}{2} \).