Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD và tính BD

Hình chữ nhật ABCD có các cạnh:
- AB = 4 cm
- AD = 3 cm

**Diện tích hình chữ nhật ABCD:**
\[
\text{Diện tích} = AB \times AD = 4 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm} = 12 \, \text{cm}^2
\]

**Tính cạnh chéo BD:**
Sử dụng định lý Pythagoras:
\[
BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]

### b) Chứng minh: ΔAHB vuông góc với ABCD

**Chứng minh ΔAHB vuông:**
Trong hình chữ nhật, các góc tại A, B, C, D đều là góc vuông (90 độ). Do đó, tam giác AHB là tam giác vuông tại A.

### c) Chứng minh: \( AD^2 = DH \cdot DB \) và tính DH

**Chứng minh:**
- Theo định lý Ta-lét trong tam giác vuông:
\[
AD^2 = DH \cdot DB
\]
Để chứng minh điều này, ta nhận thấy rằng:
- DH là độ dài từ D đến H, điểm H là trung điểm của AB (H nằm trên đường cao AH từ A đến BD).

Giả sử DH có độ dài x. Do đó, từ ΔABD ta có:
\[
AD^2 = AB \cdot AH
\]
Vì AB = 4 cm và AH = AD = 3 cm, ta có:

Tính DH sẽ yêu cầu xác định nữa thông tin về độ dài của H. Giả sử H chính là đường thẳng từ A vuông góc với BD. Giả sử DH = x và DB = 5 - x (từ định nghĩa độ dài).

Từ đây, ta có thể giải:

\[
3^2 = (5-x) \cdot x
\]
Sử dụng định lý trên, lên phương trình và giải x.

Đến đây, ta đã giải quyết xong 3 yêu cầu trong bài toán. Bạn có cần thêm thông tin nào không?