Để giải phương trình \(2^a + 37 = |b - 45| + b - 45\), ta trước tiên cần phân tích vế bên phải.

Ta có thể rút gọn vế bên phải:

1. Nếu \(b \geq 45\):
\[
|b - 45| = b - 45 \Rightarrow |b - 45| + b - 45 = (b - 45) + (b - 45) = 2b - 90
\]
Vậy yều cầu sẽ trở thành:
\[
2^a + 37 = 2b - 90 \Rightarrow 2b = 2^a + 127 \Rightarrow b = \frac{2^a + 127}{2}
\]

2. Nếu \(b < 45\):
\[
|b - 45| = 45 - b \Rightarrow |b - 45| + b - 45 = (45 - b) + (b - 45) = 0
\]
Điều này dẫn đến:
\[
2^a + 37 = 0
\]
Tuy nhiên, phương trình này không có nghiệm với \(a\) là số tự nhiên.

Vậy chỉ có trường hợp \(b \geq 45\) là khả thi.

Tiếp theo, để \(b\) là số tự nhiên, ta cần điều kiện:
\[
2^a + 127 \text{ phải chia hết cho 2.}
\]
Điều nào đó sẽ luôn đúng vì \(127\) là số lẻ, do đó \(2^a\) phải là số lẻ khi \(a = 0\).

Thử nghiệm với các giá trị của \(a\):

- Nếu \(a = 0\):
\[
b = \frac{2^0 + 127}{2} = \frac{1 + 127}{2} = \frac{128}{2} = 64 \quad (\text{hợp lệ})
\]

- Nếu \(a = 1\):
\[
b = \frac{2^1 + 127}{2} = \frac{2 + 127}{2} = \frac{129}{2} = 64.5 \quad (\text{không hợp lệ})
\]

- Nếu \(a = 2\):
\[
b = \frac{2^2 + 127}{2} = \frac{4 + 127}{2} = \frac{131}{2} = 65.5 \quad (\text{không hợp lệ})
\]

- Nếu \(a = 3\):
\[
b = \frac{2^3 + 127}{2} = \frac{8 + 127}{2} = \frac{135}{2} = 67.5 \quad (\text{không hợp lệ})
\]

- Nếu \(a = 4\):
\[
b = \frac{2^4 + 127}{2} = \frac{16 + 127}{2} = \frac{143}{2} = 71.5 \quad (\text{không hợp lệ})
\]

Ta có thể thấy rằng, khi \(a \geq 1\), \(b\) không có khả năng là số tự nhiên.

Tóm lại, nghiệm duy nhất thỏa mãn là:

\[
(a, b) = (0, 64)
\]