Cho a,b,c là các chú số khác 0. Lập tất cả các chữ số là a,b,c. Chứng minh rằng tổng tất cả các số có ba chữ số đó chia hết cho 6 và 37

Để chứng minh rằng tổng tất cả các số có ba chữ số được lập từ các chữ số \( a, b, c \) (với \( a, b, c \) là các số khác 0) chia hết cho 6 và 37, chúng ta sẽ tiến hành từng bước.

### 1. Số lượng các số ba chữ số và tổng số

Ta có thể tạo ra các số ba chữ số từ các chữ số \( a, b, c \). Tổng số chữ số ba chữ số khác nhau được tạo ra là \( 3! = 6 \).

Các số đó là:
- \( abc \)
- \( acb \)
- \( bac \)
- \( bca \)
- \( cab \)
- \( cba \)

Trong đó, các số có thể được biểu diễn dưới dạng:

\[
abc = 100a + 10b + c
\]
\[
acb = 100a + 10c + b
\]
\[
bac = 100b + 10a + c
\]
\[
bca = 100b + 10c + a
\]
\[
cab = 100c + 10a + b
\]
\[
cba = 100c + 10b + a
\]

### 2. Tính tổng các số

Tổng tất cả các số này sẽ là:

\[
S = (100a + 10b + c) + (100a + 10c + b) + (100b + 10a + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) + (100c + 10b + a)
\]

Khi nhóm lại, ta có:

\[
S = 2(100a + 100b + 100c) + 2(10a + 10b + 10c) + 2(a + b + c)
\]

\[
S = 2(100a + 10a + a + 100b + 10b + b + 100c + 10c + c)
\]
\[
S = 222(a + b + c)
\]

### 3. Chứng minh chia hết cho 6

Để \( S \) chia hết cho 6, cần phải chứng minh rằng \( S \) chia hết cho 2 và 3.

- **Chia hết cho 2**: Vì \( S = 222(a + b + c) \) có 2 ở yếu tố 222, nên \( S \) chia hết cho 2.
- **Chia hết cho 3**: Ta cần chứng minh \( a + b + c \) chia hết cho 3. Bởi vì \( 222 \equiv 0 \mod 3 \), nên \( S = 222(a + b + c) \) cũng chia hết cho 3 nếu \( a + b + c \) khác 0.

Như vậy, \( S \) chia hết cho \( 6 \).

### 4. Chứng minh chia hết cho 37

Để chứng minh rằng \( S = 222(a + b + c) \) chia hết cho 37, ta phải tính \( 222 \mod 37 \):

\[
222 \div 37 \approx 6, \quad 37 \times 6 = 222 \quad (222 - 222 = 0)
\]

Vậy \( 222 \equiv 0 \mod 37 \). Do đó, \( S \) chia hết cho 37.

### Kết luận

Tổng tất cả các số có ba chữ số được lập từ các chữ số \( a, b, c \) đều chia hết cho 6 và 37.