Để tìm giá trị của \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( A \in \mathbb{Z} \) trong biểu thức

\[
A = \frac{2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 3},
\]

ta sẽ làm như sau:

### Bước 1: Phân tích biểu thức
Tách biểu thức thành hai phần:

\[
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{4}{\sqrt{x} + 3}.
\]

### Bước 2: Xác định \( \sqrt{x} \)
Gọi \( y = \sqrt{x} \), từ đó \( x = y^2 \) và biểu thức trở thành:

\[
A = \frac{2y + 4}{y + 3}.
\]

### Bước 3: Đơn giản hóa
Ta có thể phân tích biểu thức thành:

\[
A = 2 - \frac{2}{y + 3}.
\]

### Bước 4: Điều kiện để \( A \in \mathbb{Z} \)
Để \( A \) là số nguyên, biểu thức \( \frac{2}{y + 3} \) phải là số nguyên. Điều đó có nghĩa là \( y + 3 \) phải là ước của 2.

### Bước 5: Tìm giá trị của \( y + 3 \)
Các ước của 2 là \( \pm 1, \pm 2 \). Do đó, ta có thể giải các phương trình:

1. \( y + 3 = 1 \) \( \Rightarrow y = -2 \) (không hợp lệ vì \( y \) không thể âm)
2. \( y + 3 = 2 \) \( \Rightarrow y = -1 \) (không hợp lệ vì \( y \) không thể âm)
3. \( y + 3 = -1 \) \( \Rightarrow y = -4 \) (không hợp lệ vì \( y \) không thể âm)
4. \( y + 3 = -2 \) \( \Rightarrow y = -5 \) (không hợp lệ vì \( y \) không thể âm)

### Kiểm tra với ước khác
Vậy chỉ cần thử các giá trị sao cho \( y \) nguyên dương.

Ta đặt \( y + 3 = 1 \) và \( y + 3 = 2 \) rồi tìm \( y \).

- \( y + 3 = k \), trong đó \( k \) phải là các ước của 2. Xét tất cả trường hợp thoả mãn với \( y \) nguyên dương.

### Tóm lại:
Chúng ta có thể thử các số nguyên dương cho \( x \) (tương ứng với \( y \)) và thay vào biểu thức \( A \) để tìm giá trị. Các bước tính toán chi tiết sẽ cho các giá trị cụ thể cho \( x \).

Cuối cùng, ta chỉ cần kiểm tra các giá trị nguyên dương của \( y \) cho ra \( A \in \mathbb{Z} \).