Định lý Fermat nhỏ phát biểu rằng nếu \( p \) là một số nguyên tố và \( a \) là một số nguyên không chia hết cho \( p \), thì:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Để chứng minh điều này, chúng ta xem xét các số nguyên \( a, 2a, 3a, \ldots, (p-1)a \). Các số này đều khác nhau modulo \( p \) vì nếu \( ka \equiv ma \mod p \) với \( 1 \leq k, m < p \), thì:

\[
(k - m)a \equiv 0 \mod p
\]

Vì \( a \) không chia hết cho \( p \), nên từ đó suy ra \( k \equiv m \mod p \). Số lượng các số này là \( p-1 \).

Nếu chúng ta kết hợp các số này với nhau modulo \( p \), ta có:

\[
(1a)(2a)(3a)\ldots((p-1)a) \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1) \cdot a^{p-1} \equiv (p-1)! \cdot a^{p-1} \mod p
\]

Bên cạnh đó, chúng ta cũng có thể tính tổng có thể biểu diễn các số này như sau:

\[
1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1) \equiv (p-1)! \mod p
\]

Vì vậy, ta có:

\[
(p-1)! \cdot a^{p-1} \equiv (p-1)! \mod p
\]

Nếu \( (p-1)! \) khác 0 modulo \( p \) (điều này là đúng vì \( p \) là số nguyên tố), ta có thể chia cả hai bên cho \( (p-1)! \):

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Vậy ta đã chứng minh được định lý Fermat nhỏ.

### Bổ đề 4k + 3

Bổ đề này liên quan đến việc cho biết rằng nếu \( p \equiv 3 \mod 4 \) và \( a \) là một số nguyên không chia hết cho \( p \), thì \( a^{(p-1)/2} \equiv 1 \) hoặc \( -1 \mod p \).

Để chứng minh bổ đề này, ta có thể sử dụng định lý Fermat nhỏ để thấy rằng:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Từ đó, ta phân tích \( a^{(p-1)/2} \) để thấy rằng nó có thể là \( 1 \) hoặc \( -1 \) trong mod \( p \).

### Bổ đề 3k + 2

Bổ đề này khẳng định rằng nếu \( p \equiv 2 \mod 3 \) và \( a \) là một số nguyên không chia hết cho \( p \), thì \( a^{(p-1)/3} \equiv 1 \) hoặc \( -1 \mod p \).

Sử dụng cách tương tự, chúng ta có thể áp dụng định lý Fermat nhỏ:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Vì vậy, \( a^{(p-1)/3} \) cũng sẽ dẫn đến kết quả là \( 1 \) hoặc \( -1 \) trong modulo \( p \).

Hai bổ đề này có thể được chứng minh thông qua việc sử dụng các khái niệm từ lý thuyết số học và định lý Fermat nhỏ để khẳng định rằng các số mũ bậc hai hay bậc ba của các số nguyên modulo \( p \) cho ra các kết quả nhất định.

Hy vọng phần giải thích và chứng minh trên sẽ giúp ích cho bạn!