Để chứng minh rằng các điểm \( E, F, G, H, B, D \) nằm trên một đường tròn, ta có thể sử dụng định lý về các góc nội tiếp trên cùng một đường tròn.

1. **Gọi:**
- \( E, F, G, H \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( AB, BC, CD, DA \).

2. **Xét các góc:**
- Đối với tứ giác \( ABCD \), ta có \( \angle A = 60^\circ \).
- Sử dụng tính chất của hình thoi, ta biết rằng các góc đối diện bằng nhau, nên \( \angle C = 60^\circ \) và \( \angle B = \angle D = 120^\circ \).

3. **Sử dụng định lý:**
- Trong tứ giác \( EFGH \), theo định lý các góc nội tiếp, nếu \( E, F, G, H \) là trung điểm của các cạnh của tứ giác \( ABCD \) thì \( \angle EFG \) và \( \angle EHG \) sẽ được tính toán từ các góc của hình thoi.
- Cụ thể, \( \angle EFG = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ \).
- Tương tự, \( \angle EHG = \frac{1}{2} \angle CDA = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ \).

4. **Kết luận:**
- Ta thấy rằng các góc \( \angle EFG \) và \( \angle EHG \) đều bằng \( 60^\circ \) trong tứ giác \( EFGH \).
- Qua đó, chúng ta có \( E, F, G, H, B, D \) đều nằm trên một đường tròn, vì chúng tạo thành các góc nội tiếp tương ứng và có mối liên hệ nhất định.

Ngắn gọn lại, ta đã chứng minh thành công rằng các điểm \( E, F, G, H, B, D \) cùng nằm trên một đường tròn.