Để chứng minh tứ giác \( BCGE \) là hình thang cân, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Tính chất tam giác vuông**: Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) cho nên ta có \( AB \perp AC \).

2. **Cạnh hình vuông**: Hình vuông \( ABDE \) có \( AB = DE \) và \( AE = BD \). Tương tự, hình vuông \( ACFG \) có \( AC = FG \) và \( AF = CG \).

3. **Tính chất hình thang**: Để chứng minh \( BCGE \) là hình thang cân, ta cần chỉ ra rằng \( BG \) song song với \( CE \) và đồng thời \( BG = CE \).

4. **Xét các cạnh**:
- Để chứng minh \( BG \parallel CE \), ta xem xét các góc:
- Góc \( ABE = 90^\circ \) và góc \( ACF = 90^\circ \) cho thấy rằng \( AE \) và \( AF \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \).
- Suy ra \( BE \) và \( CF \) cũng sẽ song song với các cạnh còn lại của tam giác.
- Sử dụng tính chất hình vuông, ta có:
\[
BE = AB = a \quad \text{và} \quad CF = AC = b
\]
- Do đó, \( BG \parallel CE \).

5. **Chứng minh độ dài**:
- Tính độ dài \( BG \) và \( CE \):
- \( BG = AF = AB \) (bởi vì hình vuông)
- \( CE = AG = AC \) (tương tự)
- Ta có \( BG = CE \).

6. **Kết luận**: Từ hai điều đã chứng minh là các cạnh \( BG \parallel CE \) và \( BG = CE \), ta kết luận rằng \( BCGE \) là hình thang cân.

Như vậy, ta đã chứng minh được tứ giác \( BCGE \) là hình thang cân.