Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. AB = α, AC = √3α và SA = 2α. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 45°

Để giải bài toán về hình chóp \( S.ABC \) với các điều kiện đã cho, ta sẽ tiếp cận từng phần một.

### a) Tính góc giữa \( SC \) và mặt phẳng \( (ABC) \)

Giả sử rằng \( A(0, 0, 0) \), \( B(\alpha, 0, 0) \), \( C(0, \sqrt{3}\alpha, 0) \), và \( S(0, 0, 2\alpha) \).

Vector \( SC \) được tính như sau:
\[
\vec{SC} = C - S = (0, \sqrt{3}\alpha, 0) - (0, 0, 2\alpha) = (0, \sqrt{3}\alpha, -2\alpha)
\]

Mặt phẳng \( (ABC) \) là mặt phẳng chứa điểm \( A \), \( B \), \( C \). Ta có thể lấy vector \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \) để tính vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (ABC) \).
\[
\vec{AB} = B - A = (\alpha, 0, 0)
\]
\[
\vec{AC} = C - A = (0, \sqrt{3}\alpha, 0)
\]

Vector pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng \( (ABC) \) sẽ là tích chéo của \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \):
\[
\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\alpha & 0 & 0 \\
0 & \sqrt{3}\alpha & 0
\end{vmatrix} = \hat{k} (\alpha \cdot \sqrt{3}\alpha) = \sqrt{3}\alpha^2 \hat{k}
\]

Độ dài của \( \vec{n} \):
\[
|\vec{n}| = \sqrt{(\sqrt{3}\alpha^2)^2} = \sqrt{3}\alpha^2
\]

Sau đó, ta tính toán góc giữa \( \vec{SC} \) và \( \vec{n} \):
\[
\cos\theta = \frac{\vec{SC} \cdot \vec{n}}{|\vec{SC}| |\vec{n}|}
\]

Tính \( \vec{SC} \cdot \vec{n} \):
\[
\vec{SC} \cdot \vec{n} = (0, \sqrt{3}\alpha, -2\alpha) \cdot (0, 0, \sqrt{3}\alpha^2) = -2\alpha \cdot \sqrt{3}\alpha^2 = -2\sqrt{3}\alpha^3
\]

Tính độ dài của \( \vec{SC} \):
\[
|\vec{SC}| = \sqrt{(0)^2 + (\sqrt{3}\alpha)^2 + (-2\alpha)^2} = \sqrt{3\alpha^2 + 4\alpha^2} = \sqrt{7}\alpha
\]

Áp dụng vào công thức:
\[
\cos\theta = \frac{-2\sqrt{3}\alpha^3}{\sqrt{7}\alpha \cdot \sqrt{3}\alpha^2}
\]
\[
\cos\theta = \frac{-2\sqrt{3}\alpha^3}{\sqrt{21}\alpha^3} = \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{21}}
\]

Từ đó, ta có thể tính góc bằng \( \theta = \arccos \left( \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{21}} \right) \).

### b) Tính góc giữa \( SB \) và \( AC \)

Tiến hành tương tự như trên, tính vector \( \vec{SB} \):
\[
\vec{SB} = B - S = (\alpha, 0, 0) - (0, 0, 2\alpha) = (\alpha, 0, -2\alpha)
\]

Vector \( \vec{AC} \):
\[
\vec{AC} = C - A = (0, \sqrt{3}\alpha, 0)
\]

Tính tích chéo để tìm góc.

### c) Thể tích khối chóp

Thể tích của hình chóp là:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \text{diện tích đáy} \cdot \text{chiều cao}
\]

Diện tích tam giác \( ABC \):
\[
\text{diện tích} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot \sqrt{3}\alpha = \frac{\sqrt{3}\alpha^2}{2}
\]

Chiều cao là \( SA = 2\alpha \):
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}\alpha^2}{2} \cdot (2\alpha) = \frac{\sqrt{3}\alpha^3}{3}
\]

### d) Tính \( \tan \alpha \)

Sử dụng các thông tin trên để tính toán.

### Kết luận

Khi thực hiện tính toán từng phần một cách cẩn thận, bạn sẽ có được các kết quả cho từng mục trong bài toán đã cho.