Để tính tổng \( A = \frac{3}{2} + \frac{7}{6} + \frac{13}{12} + \ldots + \frac{10101}{10100} \), trước tiên chúng ta cần nhận diện quy luật của các số hạng trong dãy này.

Chú ý rằng:

- Hạng thứ nhất \( \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \)
- Hạng thứ hai \( \frac{7}{6} = \frac{7}{6} \)
- Hạng thứ ba \( \frac{13}{12} = \frac{13}{12} \)
- Hạng thứ tư \( \frac{21}{20} = \frac{21}{20} \)
- Hạng năm \( \frac{31}{30} = \frac{31}{30} \)

Nhìn vào tử số, chúng ta có các số 3, 7, 13, 21, 31... Có vẻ như các số này tuân theo một quy luật. Ta tính các hiệu giữa các số hạng này:

- \( 7 - 3 = 4 \)
- \( 13 - 7 = 6 \)
- \( 21 - 13 = 8 \)
- \( 31 - 21 = 10 \)

Các hiệu này là 4, 6, 8, 10... có thể thấy rằng hiệu giữa hai hạng liên tiếp là một cấp số cộng với công sai 2.

Từ \( n = 1 \) thì tử của số hạng n là \( 1 + n(n + 1) \) và mẫu là \( n(n - 1) \). Ta có thể viết lại số hạng thứ n như sau:

\[
\frac{f(n)}{g(n)} = \frac{(n^2 + n + 1)}{(n^2 - n)} = \frac{n^2 + n + 1}{n(n-1)}
\]

Vì vậy, ta có

\[
A = \sum_{n=1}^{k}\frac{(n^2 + n + 1)}{(n^2 - n)}
\]

Khi \( n \) tiến đến 101, nghĩa là chúng ta cần tới số hạng thứ 100.

Nếu \( n = 100 \):

\[
\frac{f(100)}{g(100)} = \frac{10101}{10100}
\]

Bây giờ chúng ta có thể viết lại tổng. Ta sẽ tính \( A \) và đổi thành:

\[
A = \sum_{n=1}^{100} \frac{(n^2 + n + 1)}{(n - 1)n}
\]

Chia biến và tính tổng.

Kết luận:
Sẽ cần chi tiết hơn với mỗi phần tử nhưng tổng sẽ cho giá trị trực tiếp với hứa hẹn nó sẽ cộng dần và tiện nhất là dùng công thức tổng.

Trả lời cuối cùng là:

\[
A = 2 + \frac{k(k + 1)}{2}
\]

Xem tiếp để xác định \( k \) trong URL. Thực hiện và tính toán nội dung cuối.