Chúng ta cần tính tổng \( A = \frac{3}{2} + \frac{7}{6} + \frac{13}{12} + \ldots + \frac{10101}{10100} \).

Đầu tiên, ta quan sát các số hạng trong dãy số và nhận thấy có thể có một quy luật nào đó.

Tìm công thức cho tử số:

- Tử số của số hạng thứ \( n \) là: \( 2n + 1 \).
- Khi \( n = 1 \), tử số là \( 3 \).
- Khi \( n = 2 \), tử số là \( 7 \).
- Khi \( n = 3 \), tử số là \( 13 \).

Rõ ràng \( 2n + 1 \) tạo ra các số 3, 7, 13 khi \( n \) tăng từ 1.

Tìm công thức cho mẫu số:

- Mẫu số của số hạng thứ \( n \) là: \( 2n \).
- Khi \( n = 1 \), mẫu số là \( 2 \).
- Khi \( n = 2 \), mẫu số là \( 6 \).
- Khi \( n = 3 \), mẫu số là \( 12 \).

Như vậy, tổng quát cho số hạng thứ \( n \) ta có:

\[
\frac{2n + 1}{2n}
\]

Bây giờ, chúng ta cần xác định số hạng cuối cùng. Ta thấy biểu thức \( \frac{10101}{10100} \) phù hợp với công thức đã tìm.

Giải quyết số hạng cuối cùng:

Ta có \( 2n + 1 = 10101 \) và \( 2n = 10100 \). Từ đó ta có:

\[
n = 5050
\]

Vậy \( A \) là tổng từ \( n = 1 \) đến \( n = 5050 \):

\[
A = \sum_{n=1}^{5050} \frac{2n + 1}{2n} = \sum_{n=1}^{5050} \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)
\]

Chia ra thành hai tổng:

\[
A = \sum_{n=1}^{5050} 1 + \sum_{n=1}^{5050} \frac{1}{2n}
\]

Tính từng phần:

1. Tổng đầu tiên:

\[
\sum_{n=1}^{5050} 1 = 5050
\]

2. Tổng thứ hai:

\[
\sum_{n=1}^{5050} \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{5050} \frac{1}{n}
\]

Sử dụng một công thức gần đúng cho tổng \( H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \approx \ln(n) + \gamma \) với \( \gamma \) là hằng số Euler-Mascheroni.

Đối với \( n = 5050 \):

\[
H_{5050} \approx \ln(5050) + 0.577 \approx 8.519 + 0.577 \approx 9.096
\]

Vậy,

\[
\sum_{n=1}^{5050} \frac{1}{2n} \approx \frac{1}{2} \times 9.096 = 4.548
\]

Cuối cùng, ta cộng hai kết quả lại:

\[
A \approx 5050 + 4.548 \approx 5054.548
\]

Do đó, tổng \( A \) gần đúng là:

\[
\boxed{5054.548}
\]