Để rút gọn biểu thức \( P = \left( \frac{5 + 3}{\sqrt{x - 1}} \right) \cdot \left( \frac{x + 2}{x + \sqrt{x - 2}} \right) - \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z + 2}} \), bạn có thể tiến hành như sau:

1. **Rút gọn từng phần của biểu thức**:
- \( \frac{5 + 3}{\sqrt{x - 1}} = \frac{8}{\sqrt{x - 1}} \)
- Phần còn lại là \( \frac{x + 2}{x + \sqrt{x - 2}} \) cần phải được phân tích hoặc rút gọn thêm.

2. **Thực hiện các phép biến đổi đại số cần thiết**:
- Nếu có bất kỳ yếu tố nào có thể bị loại bỏ hoặc kết hợp lại, hãy thực hiện các phép biến đổi này.

3. **Giải của phương trình**:
- Tiến hành tìm giá trị \( x \) thỏa mãn \( P = \frac{\sqrt{z} - 1}{\sqrt{x}} \).

Cuối cùng, bạn sẽ có một biểu thức rút gọn cho \( P \) cùng với giải pháp cho \( x \) thỏa mãn điều kiện của phương trình. Nếu bạn cần chi tiết về từng bước, vui lòng cung cấp thêm thông tin!