Để chứng minh các phần đã cho, ta sẽ xem xét các tính chất đặc trưng của tam giác đều và các hình thang được tạo ra bởi các đoạn thẳng song song.

### a) Chứng minh rằng tứ giác BFMD, CDME, AEMF là các hình thang cân:

1. **Tứ giác BFMD**:
- Vì MD song song với AC, nên góc BMF = góc BDA (góc đồng vị).
- Tương tự, góc BFD = góc BAC.
- Do đó, tứ giác BFMD có 2 cặp góc đối bằng nhau, suy ra BFMD là một hình thang.
- Hơn nữa, vì tam giác ABC đều, hai góc BMF và BFD đều bằng nhau, do đó BFMD là hình thang cân.

2. **Tứ giác CDME**:
- Tương tự như ở trên, vì ME song song với AB, nên góc CME = góc CAB.
- Góc CDE = góc BDA (góc đồng vị).
- Do đó, tứ giác CDME cũng có 2 cặp góc đối bằng nhau, khiến nó trở thành hình thang cân.

3. **Tứ giác AEMF**:
- ME song song với AB đã nêu ở trên.
- MF song song với BC, vì vậy góc AME = góc ABC và góc AEF = góc BCA.
- Do đó, tứ giác AEMF cũng là một hình thang cân.

### b) Chứng minh rằng DME = EMF = DMF:

- Ta có DME, EMF, và DMF đều là các góc trong các tứ giác đã nêu.
- Từ hình thang BFMD, góc BMF (góc DME) bằng góc BFD (góc EMF) và góc ABD (góc DMF).
- Bởi vì các góc này được tạo ra bởi các đường thẳng song song, và có thể được nối với nhau từ điểm M, ta có:
- DME + EMF + DMF = 180° (tổng các góc trong một tam giác).
- Từ đó, do 3 góc này bằng nhau và tổng cộng là 180°, ta có DME = EMF = DMF.

### c) Chứng minh rằng trong 3 đoạn thẳng MA, MB, MC, đoạn lớn nhất có độ dài nhỏ hơn tổng độ dài của 2 đoạn kia:

- Giả sử MA, MB và MC là các đoạn thẳng từ M tới các đỉnh của tam giác ABC.
- Lập luận theo định lý tam giác: Trong bất kỳ tam giác nào, tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại.
- Gọi đoạn dài nhất là \( m_{\text{max}} \). Ta có:
- \( MA + MB > MC \)
- \( MA + MC > MB \)
- \( MB + MC > MA \)
- Từ định lý tam giác cho ta biết rằng:
- \( m_{\text{max}} < \) Tổng độ dài hai đoạn thẳng còn lại.

Do đó, ta có thể kết luận rằng đoạn dài nhất sẽ nhỏ hơn tổng độ dài của hai đoạn kia.

Tóm lại, tất cả các phần đã được chứng minh dựa trên tính đồng dạng, tính chất hình thang, cũng như quy luật tổng các độ dài của tam giác.