Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Chứng minh rằng ΔAOD = ΔBOC

Để chứng minh rằng \( \triangle AOD \cong \triangle BOC \) và \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( IK \), ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh rằng: \( \triangle AOD \cong \triangle BOC \)

**Giải:**

- Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) và \( CD \). Theo định nghĩa, ta có:
\[
AO = OB \quad \text{và} \quad CO = OD.
\]

- Ta thực hiện một số tính chất của tam giác:
- \( AO = OB \) (do \( O \) là trung điểm của \( AB \)).
- \( CO = OD \) (do \( O \) là trung điểm của \( CD \)).

- Xét góc:
- Ta có \( \angle AOD = \angle BOC \) (cùng chính là góc tạo bởi 2 câu)

- Do đó, theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCM) cho hai tam giác, ta có:
\[
AO = OB, \quad CO = OD, \quad \angle AOD = \angle BOC.
\]

- Kết luận, từ ba điều kiện trên, ta có:
\[
\triangle AOD \cong \triangle BOC.
\]

### b) Chứng minh rằng \( O \) là trung điểm của \( IK \)

**Giải:**

- Gọi \( I \) là điểm thuộc đoạn thẳng \( AD \) và \( K \) là điểm thuộc đoạn thẳng \( BC \) sao cho \( AI = BK \).

- Gọi \( P \) và \( Q \) lần lượt là trung điểm của \( AD \) và \( BC \):
- Ta đã có rằng \( O \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \).

- Do đó, từ vị trí của các điểm, ta có thể viết:
- Khoảng cách từ \( A \) đến \( D \) có thể phân tích như sau:
\[
AO + OD = AD
\]

- Tương tự cho đoạn \( B \) đến \( C \):
\[
BO + OC = BC
\]

- Vì \( O \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) nên chúng ta có:
\[
AO = OB \quad \text{và} \quad CO = OD.
\]

- Suy ra, tổng của khoảng cách giữa điểm \( I \) và \( K \) sẽ cho chúng ta chứng minh rằng:
\[
AI + IK + CK = AD - AI + AI.
\]

- Cuối cùng kết luận:
Do đó, \( O \) là trung điểm của \( IK \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được cả hai điều cần thiết:
1. \( \triangle AOD \cong \triangle BOC \).
2. \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( IK \).