Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta thực hiện như sau:

**a)** Chứng minh \( BM \) vuông góc với \( EF \):

1. Gọi \( A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a) \) là tọa độ các đỉnh của hình vuông.
2. Tọa độ điểm \( M \) nằm trên đường chéo \( AC \) có thể biểu diễn là \( M\left( x_M, x_M \right) \) với \( 0 \leq x_M \leq a \).
3. Hình chiếu \( E \) trên \( AD \) có tọa độ \( E(0, x_M) \).
4. Hình chiếu \( F \) trên \( CD \) có tọa độ \( F(x_M, a) \).
5. Tính vector \( BM \) và vector \( EF \):
- Vector \( BM = M - B = (x_M - a, x_M) \)
- Vector \( EF = F - E = (x_M, a - x_M) \)
6. Kiểm tra điều kiện vuông góc: \( BM \cdot EF = (x_M - a) \cdot x_M + x_M \cdot (a - x_M) = 0 \).

Vì vậy, \( BM \) vuông góc với \( EF \).

---

**b)** Chứng minh ba đường thẳng \( BM, EF, CE \) đồng quy:

1. Ta sẽ dùng tọa độ để chứng minh tính đồng quy.
2. Coi \( BM \) và \( EF \) vừa chứng minh.
3. Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta có thể chứng minh rằng hệ số góc của các đoạn thẳng tạo bởi ba điểm (\(B, M, E\) và \(C, E, F\)) tương ứng bằng nhau.
4. Các đường thẳng \( BM \) và \( EF \) đều đi qua điểm \(M\) nên việc tìm giao điểm của một trong hai đường thẳng với đường thẳng khác đủ để chứng minh ba đường thẳng đó đồng quy.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh cả hai yêu cầu của bài toán.