Để chứng minh yêu cầu của bài toán, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác \(BMCD\) là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \(BMCD\) là hình bình hành, ta cần chứng minh các cạnh đối diện của nó bằng nhau.

1. **Tính chất của điểm trung bình**:
- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên ta có \(AM = MB\).
- Tương tự, \(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AN = NC\).

2. **Tính toán độ dài của các đoạn thẳng**:
- Theo định nghĩa \(D\) là điểm sao cho \(ND = NM\) và \(D\) nằm trên tia đối của \(NM\). Do đó, ta có \(ND = NM\).

3. **Sử dụng định nghĩa của hình bình hành**:
- Tứ giác \(BMCD\) sẽ là hình bình hành nếu \(BM = CD\) và \(BC = MD\).

- **Xét đoạn \(BM\) và \(CD\)**:
- Ta có \(BM = AM\) (bởi \(M\) là trung điểm) và \(CD = NM + MD\).
- Vì \(ND = NM\) nên \(D\) cũng nằm trên đường thẳng \(MC\). Do đó, \(MC = ND\) và \(MD\) là đoạn thẳng kéo từ \(M\) đến \(D\).

Kết luận: Do đó, \(BM = CD\) và \(NC = MD\), suy ra \(BMCD\) là hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác \(AMDC\) là hình gì?

Để chứng minh tứ giác \(AMDC\) có tính chất gì, chúng ta sẽ sử dụng thông tin \(D\) đang nằm trên tia đối của \(NM\) và xét các cạnh của nó:

1. **Xét các cạnh**:
- \(AM\) là một nửa của \(AB\).
- \(AC\) là cạnh đối diện với \(D\) theo phương vuông góc, do đó có thể thấy rằng \(AD = DC\) (vì \(D\) là điểm trên tia đối của \(NM\) và \(N\) là trung điểm).

2. **Xét góc**:
- Ta cũng có thể thấy rằng góc \(AMD\) và \(CMD\) bằng nhau và vuông góc, bởi vì \(A\) là điểm đầu và \(M\) là trung điểm.

Kết luận: Tứ giác \(AMDC\) là hình thang vuông.

### c) Chứng minh tam giác \(BDA\) cân

Để chứng minh rằng tam giác \(BDA\) là tam giác cân, ta cần chứng minh hai độ dài \(BD\) và \(AD\) bằng nhau:

1. **Xét điểm D**:
- Từ điều kiện \(ND = NM\) và \(NM\) là phân đoạn từ điểm \(N\) đến \(M\), \(D\) nằm trên tia đối của \(NM\), dẫn đến \(AD = BD\).

2. **Do đoạn thẳng**:
- Ta đã thiết lập rằng \(D\) là điểm đối xứng qua trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\).

Kết luận: Tam giác \(BDA\) là tam giác cân tại \(A\).

### Kết luận
Như vậy, ta đã chứng minh rằng:
- Tứ giác \(BMCD\) là hình bình hành.
- Tứ giác \(AMDC\) là hình thang vuông.
- Tam giác \(BDA\) là tam giác cân.