Cho ΔABC vuông tại A, đường tròn O nội tiếp có bán kính r. Vẽ d qua O cắt AB, AC tại M, N. Xác định d để diện tích ΔAMN nhỏ nhất. Tính diện tích ΔAMN nhỏ nhất đó

Để xác định đường thẳng \(d\) sao cho diện tích tam giác \(AMN\) nhỏ nhất, ta xem xét các yếu tố liên quan đến hình học của tam giác vuông \(ABC\) và đường tròn nội tiếp.

### Bước 1: Định nghĩa tam giác và đường tròn nội tiếp
Trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), đường tròn nội tiếp có bán kính \(r\) sẽ có tâm là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh và đụng vào các cạnh \(AB\), \(AC\), \(BC\) tại các điểm dọc theo bán kính.

### Bước 2: Diện tích tam giác \(AMN\)
Diện tích của tam giác \(AMN\) được tính theo công thức:

\[
S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle MAN)
\]

### Bước 3: Chọn đường thẳng tối ưu
Để tối thiểu hóa diện tích tam giác \(AMN\), đường thẳng \(d\) đi qua tâm \(O\) của đường tròn nội tiếp sẽ phải vuông góc với cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\). Điều này xảy ra khi \(M\) và \(N\) nằm trên các cạnh \(AB\) và \(AC\) sao cho góc \(MAN\) đạt giá trị nhỏ nhất.

### Bước 4: Tính toán diện tích nhỏ nhất
Khi đường thẳng \(d\) vuông góc với \(BC\), ta có thể xác định rằng \(S_{AMN}\) tối thiểu sẽ bằng:

\[
S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot r^2
\]

### Kết luận
Diện tích tam giác \(AMN\) nhỏ nhất là \( \frac{1}{2} r^2 \). Từ đó, ta có thể dễ dàng xác định giá trị của \(r\) để tính được diện tích cụ thể.