Để chứng minh hàm số \( f(x) = 2025^{(x^2 - 2x)} \) đồng biến trên khoảng \( (1, +\infty) \), chúng ta cần khảo sát đạo hàm của hàm số này.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \).

Đầu tiên, chúng ta có thể viết lại hàm số \( f(x) \) theo công thức lôgarit:

\[
f(x) = e^{(x^2 - 2x) \ln(2025)}
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số mũ, ta có:

\[
f'(x) = e^{(x^2 - 2x) \ln(2025)} \cdot \frac{d}{dx}((x^2 - 2x) \ln(2025))
\]

Bước 2: Tính đạo hàm của \( (x^2 - 2x) \):

\[
\frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2
\]

Vậy ta có:

\[
f'(x) = 2025^{(x^2 - 2x)} \cdot (2x - 2) \cdot \ln(2025)
\]

Bước 3: Phân tích dấu của \( f'(x) \):

Để hàm số \( f(x) \) đồng biến, \( f'(x) \) cần phải lớn hơn 0. Do \( 2025^{(x^2 - 2x)} > 0 \) và \( \ln(2025) > 0 \) (vì 2025 lớn hơn 1), ta chỉ cần xem xét dấu của \( (2x - 2) \).

Giải bất phương trình:

\[
2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 1
\]

Bước 4: Kết luận:

Với \( x > 1 \), ta có \( (2x - 2) > 0 \). Do đó, \( f'(x) > 0 \) khi \( x > 1 \), chứng tỏ hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (1, +\infty) \).

Vậy, hàm số \( f(x) = 2025^{(x^2 - 2x)} \) đồng biến trên khoảng \( (1, +\infty) \).