Để tìm giá trị của \( n \in \mathbb{N} \) sao cho biểu thức \( A = (n^2 + 10)^2 - 36n^2 \) là một số nguyên tố, trước tiên, chúng ta sẽ đơn giản hóa biểu thức \( A \).

Tính \( A \):

\[
A = (n^2 + 10)^2 - 36n^2
\]
\[
= (n^2 + 10)(n^2 + 10) - 36n^2
\]
\[
= n^4 + 20n^2 + 100 - 36n^2
\]
\[
= n^4 - 16n^2 + 100
\]

Kế tiếp, chúng ta có thể viết lại \( A \) theo dạng:

\[
A = n^4 - 16n^2 + 100 = n^4 - 16n^2 + 64 + 36 = (n^2 - 8)^2 + 36
\]

Biểu thức \( A \) là tổng của \( (n^2 - 8)^2 \) và 36. Do đó, \( A \) luôn lớn hơn hoặc bằng 36.

Giá trị của \( A \) sẽ là một số nguyên tố nếu:

1. \( (n^2 - 8)^2 = 0 \) (ngụ ý \( n^2 - 8 = 0 \) hoặc \( n^2 = 8 \), không thuộc \( \mathbb{N} \))
2. Hoặc \( (n^2 - 8)^2 \) là một số dương và \( (n^2 - 8)^2 + 36 \) là một số nguyên tố.

Bây giờ, chúng ta thử một số giá trị của \( n \):

- **Khi \( n = 0 \)**:
\[
A = (0^2 - 8)^2 + 36 = 64 + 36 = 100 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( n = 1 \)**:
\[
A = (1^2 - 8)^2 + 36 = 49 + 36 = 85 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( n = 2 \)**:
\[
A = (2^2 - 8)^2 + 36 = 36 + 36 = 72 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( n = 3 \)**:
\[
A = (3^2 - 8)^2 + 36 = 25 + 36 = 61 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

- **Khi \( n = 4 \)**:
\[
A = (4^2 - 8)^2 + 36 = 16 + 36 = 52 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( n = 5 \)**:
\[
A = (5^2 - 8)^2 + 36 = 9 + 36 = 45 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( n = 6 \)**:
\[
A = (6^2 - 8)^2 + 36 = 16 + 36 = 52 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( n = 7 \)**:
\[
A = (7^2 - 8)^2 + 36 = 49 + 36 = 85 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( n = 8 \)**:
\[
A = (8^2 - 8)^2 + 36 = 0 + 36 = 36 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( n = 9 \)**:
\[
A = (9^2 - 8)^2 + 36 = 81 + 36 = 117 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

Ta tìm thấy rằng:

- \( n = 3 \) cho \( A = 61 \), là số nguyên tố.

Vậy giá trị \( n \in \mathbb{N} \) để \( A \) là một số nguyên tố là \( n = 3 \).