Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua điểm A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O; R). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC > R. Từ diêm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn (O; R), M là tiếp điểm

Để chứng minh phần c) của bài toán, ta sẽ sử dụng các định lý liên quan đến hình học trong đường tròn và các tính chất của tiếp tuyến.

**Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn (O; R). Chúng ta sẽ chứng minh rằng:**
1. \( CM^2 = CK \cdot BC \)
2. \( \angle CEK = \angle CAK \)

**Chứng minh hợp lý:**

1. **Chứng minh \( CM^2 = CK \cdot BC \)**:
- Theo định lý tiếp tuyến, ta biết rằng độ dài tiếp tuyến từ điểm C đến đường tròn là:
\[
CM = \sqrt{CA^2 - R^2}
\]
- Do đó, ta có \( CM^2 = CA^2 - R^2 \).
- Gọi \( B \) là điểm tiếp xúc với đường tròn O bởi tiếp tuyến tại điểm M. Ta có tam giác \( CMB \) có \( CM \) là tiếp tuyến tại M, do đó:
\[
CM^2 = CB \cdot CK
\]
- Theo định lý tiếp tuyến, \( CK = CA - AB = AC - R \). Từ đó, ta có được biểu thức cho \( CK \) và ta sẽ có:
\[
CK \cdot BC = CB \cdot CK
\]
- Kết luận có được là \( CM^2 = CK \cdot BC \).

2. **Chứng minh \( \angle CEK = \angle CAK \)**:
- Ta có \( \angle CAK \) là góc được tạo thành bởi đường tiếp tuyến ax và đường thẳng AC.
- Cũng do tính chất của các đường tiếp tuyến, góc \( \angle CMB \) được tạo bởi CM và BC.
- Vậy, ta có:
\[
\angle CEK = \angle CMK \text{ (theo tính chất của góc nội tiếp trong tam giác) }
\]
- Do đó, \( \angle CEK = \angle CAK \).

Với những lý luận trên, ta đã chứng minh được hai yêu cầu trong bài toán.