Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{10}{x-1} + \frac{1}{y+2} = 1 \\
\frac{25}{x-1} + \frac{3}{y+2} = 2
\end{cases}
\]

Đầu tiên, đặt \( a = \frac{1}{x-1} \) và \( b = \frac{1}{y+2} \). Hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
10a + b = 1 \quad (1) \\
25a + 3b = 2 \quad (2)
\end{cases}
\]

Giải phương trình (1) để tìm \( b \):

\[
b = 1 - 10a
\]

Thay \( b \) vào phương trình (2):

\[
25a + 3(1 - 10a) = 2
\]

Giải phương trình trên:

\[
25a + 3 - 30a = 2 \\
-5a + 3 = 2 \\
-5a = -1 \\
a = \frac{1}{5}
\]

Thay giá trị của \( a \) vào công thức tìm \( b \):

\[
b = 1 - 10 \cdot \frac{1}{5} = 1 - 2 = -1
\]

Bây giờ chúng ta có:

\[
a = \frac{1}{5}, \quad b = -1
\]

Chuyển đổi trở lại để tìm \( x \) và \( y \):

\[
\frac{1}{x-1} = \frac{1}{5} \Rightarrow x - 1 = 5 \Rightarrow x = 6
\]

\[
\frac{1}{y+2} = -1 \Rightarrow y + 2 = -1 \Rightarrow y = -3
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (6, -3)
\]