Để giải hệ phương trình này, ta tiến hành biến đổi từng phương trình.

Gọi:
- \( a = \frac{1}{x-5} \)
- \( b = \frac{1}{y-2} \)

Hệ phương trình biến đổi thành:

1. \( a + 3b = 2 \) (1)
2. \( 3a - 5b = -\frac{3}{2} \) (2)

### Bước 1: Giải phương trình (1)

Từ phương trình (1):
\[
a + 3b = 2 \implies a = 2 - 3b
\]

### Bước 2: Thay vào phương trình (2)

Thay giá trị của \( a \) vào phương trình (2):
\[
3(2 - 3b) - 5b = -\frac{3}{2}
\]
Giải phương trình này:
\[
6 - 9b - 5b = -\frac{3}{2}
\]
\[
6 - 14b = -\frac{3}{2}
\]
Chuyển 6 sang phải:
\[
-14b = -\frac{3}{2} - 6
\]
Chuyển 6 thành phân số:
\[
6 = \frac{12}{2} \implies -14b = -\frac{3}{2} - \frac{12}{2} = -\frac{15}{2}
\]
Chia cả hai bên cho -14:
\[
b = \frac{15}{28}
\]

### Bước 3: Tìm giá trị của \( a \)

Tiếp tục thay giá trị của \( b \) vào phương trình \( a = 2 - 3b \):
\[
a = 2 - 3\left(\frac{15}{28}\right) = 2 - \frac{45}{28}
\]
Chuyển 2 thành phân số:
\[
2 = \frac{56}{28} \implies a = \frac{56}{28} - \frac{45}{28} = \frac{11}{28}
\]

### Bước 4: Tính \( x \) và \( y \)

Quay lại công thức:
\[
a = \frac{1}{x-5} \implies \frac{1}{x-5} = \frac{11}{28} \implies x - 5 = \frac{28}{11} \implies x = 5 + \frac{28}{11} = \frac{55}{11} + \frac{28}{11} = \frac{83}{11}
\]

\[
b = \frac{1}{y-2} \implies \frac{1}{y-2} = \frac{15}{28} \implies y - 2 = \frac{28}{15} \implies y = 2 + \frac{28}{15} = \frac{30}{15} + \frac{28}{15} = \frac{58}{15}
\]

### Kết quả

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[
x = \frac{83}{11}, \quad y = \frac{58}{15}
\]