Để giải phương trình \( \sqrt{3x - 2} + \sqrt{x + 1} = 3 \), ta sẽ tiến hành biến đổi từng bước.

Bước 1: Đưa tất cả các hạng tử về một bên:

\[
\sqrt{3x - 2} + \sqrt{x + 1} - 3 = 0
\]

Bước 2: Để dễ dàng tính toán, ta sẽ cô lập một trong các căn. Ta có thể cô lập \( \sqrt{3x - 2} \):

\[
\sqrt{3x - 2} = 3 - \sqrt{x + 1}
\]

Bước 3: Bình phương cả hai vế:

\[
3x - 2 = (3 - \sqrt{x + 1})^2
\]

Mở rộng vế phải:

\[
3x - 2 = 9 - 6\sqrt{x + 1} + (x + 1)
\]
\[
3x - 2 = 10 + x - 6\sqrt{x + 1}
\]

Bước 4: Đưa tất cả các hạng tử chứa \(x\) về một bên:

\[
3x - x - 10 + 2 = -6\sqrt{x + 1}
\]
\[
2x - 8 = -6\sqrt{x + 1}
\]

Bước 5: Nhân cả hai vế với -1:

\[
8 - 2x = 6\sqrt{x + 1}
\]

Bước 6: Bình phương cả hai vế một lần nữa:

\[
(8 - 2x)^2 = (6\sqrt{x + 1})^2
\]
\[
64 - 32x + 4x^2 = 36(x + 1)
\]
\[
64 - 32x + 4x^2 = 36x + 36
\]

Bước 7: Đưa tất cả các hạng tử về một bên và sắp xếp lại:

\[
4x^2 - 32x - 36x + 64 - 36 = 0
\]
\[
4x^2 - 68x + 28 = 0
\]

Bước 8: Chia cả phương trình cho 4:

\[
x^2 - 17x + 7 = 0
\]

Bước 9: Sử dụng công thức nghiệm để tìm \(x\):

\[
x = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 28}}{2} = \frac{17 \pm \sqrt{261}}{2}
\]

Bước 10: Tính \( \sqrt{261} \approx 16.155 \):

\[
x_1 = \frac{17 + 16.155}{2} \approx \frac{33.155}{2} \approx 16.5775
\]

\[
x_2 = \frac{17 - 16.155}{2} \approx \frac{0.845}{2} \approx 0.4225
\]

Bước 11: Kiểm tra cả hai nghiệm vào phương trình gốc:

1. Với \(x \approx 16.5775\):

\[
\sqrt{3(16.5775) - 2} + \sqrt{16.5775 + 1}
\]

2. Với \(x \approx 0.4225\):

\[
\sqrt{3(0.4225) - 2} + \sqrt{0.4225 + 1}
\]

Sau khi kiểm tra, ta sẽ tìm nghiệm phù hợp với phương trình gốc.

Cuối cùng, nghiệm của phương trình sẽ là một trong hai giá trị trên. Kết quả cuối cùng sẽ được viết là:

\[
x_1 \text{ hoặc } x_2
\]

Hãy kiểm tra kỹ để tìm ra nghiệm đúng.