Để chứng minh rằng nếu \( p \) và \( p + 4 \) là hai số nguyên tố thì \( p + 2021 \) là hợp số, ta sẽ phân tích các giá trị của \( p \).

1. **Xem xét các số nguyên tố nhỏ**: Theo điều kiện, \( p \) và \( p + 4 \) đều là số nguyên tố. Các cặp số nguyên tố như vậy chỉ có thể là:
- \( p = 3 \) và \( p + 4 = 7 \)
- Một số cặp khác không tồn tại vì nếu \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3, thì \( p \) có dạng thuộc vào các số \( 6k + 1 \) hoặc \( 6k + 5 \). Khi đó \( p + 4 \) sẽ có dạng \( 6k + 5 \) hoặc \( 6k + 3 \), mà không phải lúc nào cũng là số nguyên tố.

2. **Thử với \( p = 3 \)**:
- Khi đó, \( p + 2021 = 3 + 2021 = 2024\).
- Ta kiểm tra \( 2024 \):
\[
2024 = 2 \times 1012,
\]
vì vậy \( 2024 \) là hợp số.

3. **Xem xét các giá trị khác của \( p \)**:
- Nếu \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3 thì \( p \) sẽ là \( 1 \mod 6 \) hoặc \( 5 \mod 6 \). Tuy nhiên, cho dù \( p \) là \( 1 \mod 6 \) hay \( 5 \mod 6 \), thì \( p + 2021 \) sẽ không phải là số nguyên tố.
- Cụ thể, nếu \( p \) là \( 1 \mod 6 \), thì \( p + 2021 \equiv 0 \mod 6 \) vì \( 2021 \equiv 5 \mod 6 \).
- Nếu \( p \) là \( 5 \mod 6 \), thì \( p + 2021 \equiv 4 \mod 6 \).

4. **Kết luận**:
- Về lý thuyết, chúng ta có thể biết được rằng đối với bất kỳ giá trị nào của \( p \) lớn hơn 3, \( p + 2021 \) sẽ là hợp số.
- Vì vậy, ta có thể khẳng định rằng nếu \( p \) và \( p + 4 \) là hai số nguyên tố, thì \( p + 2021 \) chắc chắn là một **hợp số**.