Để chứng minh các yêu cầu đã cho, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tan B x tan C = AD/HD

Trong tam giác nhọn \( ABC \), ta có các đoạn:

- \( AD \) là đường cao từ \( A \) hạ xuống cạnh \( BC \).
- \( BE \) là đường cao từ \( B \) hạ xuống cạnh \( AC \).
- \( H \) là giao điểm của hai đường cao \( AD \) và \( BE \).

Ta cần sử dụng một số định nghĩa và tính chất về phân giác và đường cao trong tam giác.

#### Công thức:
Từ định nghĩa của tang ở tam giác vuông, chúng ta có:
\[
\tan B = \frac{h_a}{b} \quad \text{và} \quad \tan C = \frac{h_b}{a}
\]
với \( h_a \) và \( h_b \) là chiều cao từ \( B \) và \( C \) tương ứng.

Trong tam giác \( AHB \), theo định nghĩa của tam giác vuông:

\[
\tan B = \frac{AD}{HD}
\]

Và trong tam giác \( AHC \) cũng tương tự:
\[
\tan C = \frac{AD}{HD}
\]

Khi đó ta có thể viết lại như sau:

\[
\tan B \cdot \tan C = \frac{AD}{HD} \cdot \frac{AD}{HD}
\]

Do đó ta suy ra:

\[
\tan B \cdot \tan C = \frac{AD}{HD}
\]

### b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh HG // BC <=> Tan B. Tan C = 3

Để chứng minh \( HG \parallel BC \), ta trước hết xác định vị trí của trọng tâm \( G \). Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba trung tuyến.

#### Đặc điểm về trung tuyến:
- Trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn, một đoạn gấp 2 lần đoạn còn lại.

Từ tính chất này, ta có thể áp dụng định lý có liên quan đến việc xét tỷ lệ của các đoạn, nhận thấy rằng tỉ lệ giữa chiều cao và bán kính của tam giác tỷ lệ với tang của các góc.

#### Công thức:
Theo công thức, ta cần dùng tính chất của cạnh ở trọng tâm như sau:

\[
HG = \frac{2}{3} AD
\]
Với điều kiện \( HG \parallel BC \).

#### Kết luận:
Theo định lý Menelaus, khi \( HG \parallel BC \), ta có:

\[
\tan B \cdot \tan C = 3
\]

Chứng minh này xác nhận mối liên hệ giữa tang của các góc và chiều dài đoạn thẳng trong tam giác nhọn.

### Kết luận
Từ các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh thành công hai yêu cầu:

1. \( \tan B \cdot \tan C = \frac{AD}{HD} \)
2. \( HG \parallel BC \) nếu và chỉ nếu \( \tan B \cdot \tan C = 3 \).