Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Tìm đường cao AH và tỉ số sọ đo ABC

Chúng ta có các thông tin:
- HB = 4 cm
- HC = 9 cm

Sử dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC, ta có:

\[
AB^2 + AH^2 = HB^2
\]
\[
AC^2 + AH^2 = HC^2
\]

### b) Giải các phần yêu cầu trong bài tập

1) **Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật:**

Để chứng minh ADHE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và hai góc vuông.

2) **Chứng minh \( AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2 \cdot DE^2 \):**

Sử dụng định lý trong tứ giác, ta có thể áp dụng các công thức liên quan và các hệ thức giữa độ dài để chứng minh.

3) **Chứng minh:**

\[
\frac{HC^2}{AC^2} + \frac{BD^2}{BH^2} = 1
\]

Sử dụng các định lý và tính chất liên quan đến tam giác vuông, bạn có thể thay vào các giá trị đã biết và thực hiện chứng minh.

### Nhớ:
Hãy áp dụng định lý Pitago và các công thức hình học cần thiết để hoàn thành bài tập này. Nếu cần thêm chi tiết về từng bước chứng minh, hãy cho tôi biết!