Tìm x; y thuộc Z, biết: 2xy + y = 4x^2 - 8

Chúng ta có phương trình:

\[ 2xy + y = 4x^2 - 8 \]

Đầu tiên, chúng ta có thể chuyển nó về dạng chuẩn hơn. Đưa tất cả về bên trái:

\[ 2xy + y - 4x^2 + 8 = 0 \]

Ta có thể nhóm lại:

\[ y(2x + 1) = 4x^2 - 8 \]

Từ đó, ta có thể tìm \( y \):

\[ y = \frac{4x^2 - 8}{2x + 1} \]

Để \( y \) là một số nguyên (\( y \in \mathbb{Z} \)), mẫu \( 2x + 1 \) cần phải chia hết cho \( 4x^2 - 8 \). Ta sẽ xét điều kiện này.

Phân tích biểu thức \( 4x^2 - 8 \):

\[ 4x^2 - 8 = 4(x^2 - 2) \]

Ta xét mẫu \( 2x + 1 \):

1. **Nếu \( 2x + 1 \) chia hết \( 4(x^2 - 2) \)**: Thực hiện chia và xét điều kiện.
2. **Xét giá trị cụ thể**: Ta sẽ thử nghiệm một vài giá trị của \( x \) trong \( \mathbb{Z} \).

Bắt đầu với các giá trị nguyên của \( x \):

- **Khi \( x = 0 \):**

\[ y = \frac{4(0)^2 - 8}{2(0) + 1} = \frac{-8}{1} = -8 \quad \Rightarrow (x, y) = (0, -8) \]

- **Khi \( x = 1 \):**

\[ y = \frac{4(1)^2 - 8}{2(1) + 1} = \frac{4 - 8}{2 + 1} = \frac{-4}{3} \quad (không phải \mathbb{Z}) \]

- **Khi \( x = 2 \):**

\[ y = \frac{4(2)^2 - 8}{2(2) + 1} = \frac{16 - 8}{4 + 1} = \frac{8}{5} \quad (không phải \mathbb{Z}) \]

- **Khi \( x = 3 \):**

\[ y = \frac{4(3)^2 - 8}{2(3) + 1} = \frac{36 - 8}{6 + 1} = \frac{28}{7} = 4 \quad \Rightarrow (x, y) = (3, 4) \]

- **Khi \( x = 4 \):**

\[ y = \frac{4(4)^2 - 8}{2(4) + 1} = \frac{64 - 8}{8 + 1} = \frac{56}{9} \quad (không phải \mathbb{Z}) \]

- **Khi \( x = -1 \):**

\[ y = \frac{4(-1)^2 - 8}{2(-1) + 1} = \frac{4 - 8}{-2 + 1} = \frac{-4}{-1} = 4 \quad \Rightarrow (x, y) = (-1, 4) \]

- **Khi \( x = -2 \):**

\[ y = \frac{4(-2)^2 - 8}{2(-2) + 1} = \frac{16 - 8}{-4 + 1} = \frac{8}{-3} \quad (không phải \mathbb{Z}) \]

Như vậy, các cặp nghiệm nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là:

1. \((0, -8)\)
2. \((3, 4)\)
3. \((-1, 4)\)

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[
\text{(x, y) = } (0, -8), (3, 4), (-1, 4)
\]