Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a) Tính khoảng cách từ O đến AB:**

Chúng ta biết rằng đường tròn có bán kính \( R = 4 \) cm và cung \( AB = 90^\circ \). Đầu tiên, khi cung AB = 90 độ, điều này có nghĩa là góc trung tâm \( \angle AOB = 90^\circ \).

Để tìm khoảng cách từ tâm O đến dây AB, chúng ta có thể sử dụng công thức liên quan đến bán kính và chiều cao của tam giác vuông \( OAB \), trong đó:

- \( OA = OB = R = 4 \) cm
- \( AB \) là dây và \( OM \) (M là trung điểm của dây AB) là khoảng cách từ O đến AB.

Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( OMA \) (với M là trung điểm của AB):

\[
OA^2 = OM^2 + AM^2
\]

Khi \( \angle AOB = 90^\circ \), thì \( AB \) sẽ nằm vuông góc với đoạn \( OM \). Bây giờ, chúng ta cần tính độ dài của đoạn \( AM \).

Vì \( AB \) tạo thành một góc 90 độ tại O, nên độ dài của đoạn \( AM \) bằng một nửa của độ dài dây:

Đầu tiên, để tìm độ dài của dây \( AB \), ta cần biết \( AM \):

Sử dụng công thức:
\[
AM = R \sin\left(\frac{\angle AOB}{2}\right) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
\]

Vậy, bây giờ áp dụng vào định lý Pythagore:

\[
OA^2 = OM^2 + AM^2
\]
\[
4^2 = OM^2 + (2\sqrt{2})^2
\]
\[
16 = OM^2 + 8
\]
\[
OM^2 = 16 - 8 = 8
\]
\[
OM = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}
\]

**Khoảng cách từ O đến AB là** \( 2\sqrt{2} \) cm.

---

**b) Tính độ dài dây AB:**

Để tính độ dài dây AB, ta có thể sử dụng liên hệ giữa dây AB với bán kính R và góc trung tâm θ.

Đối với góc 90 độ, có công thức tính độ dài dây:

\[
AB = 2R \sin\left(\frac{\angle AOB}{2}\right)
\]
\[
AB = 2 \cdot 4 \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ cm}
\]

**Độ dài dây AB là** \( 4\sqrt{2} \) cm.

Tóm tắt:
- Khoảng cách từ O đến AB là \( 2\sqrt{2} \) cm.
- Độ dài dây AB là \( 4\sqrt{2} \) cm.