Cho hình thang ABCD có A = D = 90 độ hai đường chéo vuông góc với nhau tại O

Để chứng minh \( mn = AD \) trong hình thang \( ABCD \) với \( A = D = 90^\circ \) và hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau tại \( O \), chúng ta sẽ tiến hành như sau:

1. **Gọi các điểm và đường thẳng:**
- Gọi \( AD = h \) (chiều cao của hình thang), \( AB = a \), \( CD = b \).
- Vì \( A \) và \( D \) vuông góc, ta có thể coi \( A \) và \( D \) là các điểm ở góc dưới bên trái và góc dưới bên phải của hình thang.
- Gọi \( OP \) là đoạn vuông góc với \( AD \), và \( OK \) là đoạn vuông góc với \( BC \).

2. **Khi kẻ \( OP \) và \( OK \):**
- \( P \) cắt \( AD \) tại \( O \) và \( K \) cắt \( BC \) tại \( M \).
- Đoạn thẳng \( OK \) vuông góc với \( BC \) nên ta có thể áp dụng định nghĩa về chiều cao.

3. **Tứ giác \( OMNK \):**
- Tứ giác \( OMPN \) chứa các đoạn thẳng vuông góc.
- Khi đó, theo tính chất hình học, \( MN \) sẽ là cạnh đối diện của hình chữ nhật \( OMNK \).

4. **Sử dụng tính đối xứng:**
- Vì hình thang ABCD có hai cạnh đáy \( AD \) và \( BC \) song song với nhau, và có dạng vuông góc tại A và D, nên ta có sự tương đồng giữa các tam giác được tạo thành từ các đường chéo và các đường kẻ vuông góc.

5. **Kết luận:**
- Từ áng chứng minh trên, vì \( M \) và \( N \) là điểm chia đoạn thẳng song song với các cạnh đáy của hình thang, ta có thể suy ra rằng độ dài của đoạn \( MN \) sẽ bằng độ dài của đoạn \( AD \).

Do đó, ta có được kết luận:

\[
MN = AD
\]

Rõ ràng, chứng minh đã hoàn tất!