Trong tam giác vuông ABC tại A với AB = 6 cm và BC = 10 cm, chúng ta cần tìm AC, HC, BH, AH, và diện tích tam giác ABH.

### Bước 1: Tính AC
Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:

\[
AC^2 + AB^2 = BC^2
\]

Thay các giá trị vào:

\[
AC^2 + 6^2 = 10^2
\]

\[
AC^2 + 36 = 100
\]

\[
AC^2 = 100 - 36 = 64
\]

\[
AC = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]

### Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC
Diện tích của tam giác ABC được tính bằng công thức:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC
\]

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \, \text{cm}^2
\]

### Bước 3: Tính AH (đường cao AH)
Sử dụng công thức diện tích tam giác:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]

Từ đó, thay giá trị diện tích vào:

\[
24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH
\]

\[
24 = 5 \cdot AH
\]

\[
AH = \frac{24}{5} = 4.8 \, \text{cm}
\]

### Bước 4: Tính BH và HC
Sử dụng định lý liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]

Dễ dàng nhận thấy:

\[
AH^2 = \left(\frac{24}{5}\right)^2 = \frac{576}{25}
\]

Từ đó ta tính BH và HC:

Gọi BH = x, HC = y. Ta có các phương trình sau:

1. \(x + y = 10\) (vì BC = BH + HC)
2. \(x \cdot y = \frac{576}{25}\)

Thay y = 10 - x vào phương trình thứ hai:

\[
x(10 - x) = \frac{576}{25}
\]

\[
10x - x^2 = \frac{576}{25}
\]

\[
25(10x - x^2) = 576
\]

\[
250x - 25x^2 = 576
\]

\[
25x^2 - 250x + 576 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 này bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây \(a = 25, b = -250, c = 576\):

\[
b^2 - 4ac = (-250)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 576 = 62500 - 57600 = 4900
\]

\[
x = \frac{250 \pm \sqrt{4900}}{50}
\]

\(\sqrt{4900} = 70\):

\[
x = \frac{250 \pm 70}{50}
\]

Từ đó, ta có hai nghiệm:

1. \(x_1 = \frac{320}{50} = 6.4\)
2. \(x_2 = \frac{180}{50} = 3.6\)

Vậy:

- \(BH = 6.4 \, \text{cm}\) và \(HC = 3.6 \, \text{cm}\).

### Tóm tắt:
- \(AC = 8 \, \text{cm}\)
- \(BH = 6.4 \, \text{cm}\)
- \(HC = 3.6 \, \text{cm}\)
- \(AH = 4.8 \, \text{cm}\)
- Diện tích tam giác ABH \(S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6.4 = 19.2 \, \text{cm}^2\)