Để giải phương trình \( x^2 + 4x - y^2 = 1 \) theo số nguyên, chúng ta có thể biến đổi phương trình để tìm ra các nghiệm nguyên.

Bước 1: Biến đổi phương trình

Ta có:

\[
x^2 + 4x - y^2 = 1
\]

Chuyển tất cả các số hạng sang một bên:

\[
y^2 = x^2 + 4x - 1
\]

Bước 2: Tính toán

Ta hoàn thành bình phương cho phần liên quan đến \( x \):

\[
y^2 = (x+2)^2 - 4 - 1
\]

\[
y^2 = (x+2)^2 - 5
\]

Bước 3: Dựa vào biểu thức này, ta thấy rằng \( y^2 + 5 = (x+2)^2 \). Điều này cho thấy:

\[
(x+2)^2 - y^2 = 5
\]

Bước 4: Sử dụng định lý về hiệu bình phương

Phương trình này có thể được viết dưới dạng:

\[
(x + 2 - y)(x + 2 + y) = 5
\]

Bước 5: Xét các cặp số nguyên phân tích ra 5

Ta có các cặp nghiệm cho \( (a, b) \) sao cho \( a \cdot b = 5 \):

- \( (1, 5) \)
- \( (5, 1) \)
- \( (-1, -5) \)
- \( (-5, -1) \)

Phân tích các cặp này:

1. Với \( a = 1, b = 5 \):

\[
x + 2 - y = 1 \\
x + 2 + y = 5
\]

Giải hệ phương trình này:
- Từ phương trình đầu tiên: \( y = x + 1 \)
- Thay vào phương trình thứ hai: \( x + 2 + (x + 1) = 5 \) dẫn đến \( 2x + 3 = 5 \) hay \( 2x = 2 \) tức là \( x = 1 \) và \( y = 2 \).

2. Tương tự với các cặp khác:

- Với \( a = 5, b = 1 \): sẽ cho ra \( (x, y) = (1, 2) \).
- Với \( a = -1, b = -5 \): cho ra \( (x, y) = (-3, -4) \).
- Với \( a = -5, b = -1 \): cũng cho ra \( (x, y) = (-3, -4) \).

Bước 6: Tổng hợp nghiệm

Từ các phân tích trên, các cặp nghiệm nguyên của phương trình \( x^2 + 4x - y^2 = 1 \) là:

\[
(x, y) = (1, 2), (-3, -4), (1, -2), (-3, 4)
\]

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

\[
(x, y) = (1, 2), (1, -2), (-3, -4), (-3, 4)
\]