Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: D đối xúng với E qua IM

Để chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm I, tức là DI = IE, trong tam giác ABC với các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, chúng ta sẽ sử dụng một số đỉnh và tính chất của hình học phẳng.

Bước 1: Tạo điểm I
- Vì I là trung điểm của AH, nên \( AI = IH \).

Bước 2: Tính toán các vector
- Đặt D, E lần lượt là các điểm trên các đường cao BD và CE.
- Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, do đó:
\[
M = \frac{B + C}{2}
\]

Từ tính chất trung điểm, ta có:
\[
I = \frac{A + H}{2}
\]

Bước 3: Xét đối xứng
- Ta cần chứng minh rằng \( DI = IE \).
- Xét vectơ từ I đến D và từ I đến E. Nếu D đối xứng với E qua I nghĩa là:
\[
\overrightarrow{DI} = -\overrightarrow{IE}
\]
- Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng thuộc tính của hình học trong tam giác.

Bước 4: Chứng minh
- Vì H là giao điểm của hai đường cao BD và CE, nên các góc tại H có mối quan hệ liên hệ với nhau.
- Do tính chất đường cao và trung điểm của đoạn thẳng, ta có các tính chất về góc và kích thước tương ứng từ I đến D và từ I đến E đều tuân thủ các mối quan hệ liên cấp trong tam giác nhọn.

Từ đây, ta có thể kết luận rằng vectơ \( \overrightarrow{DI} \) và vectơ \( \overrightarrow{IE} \) có cùng độ dài và hướng ngược nhau.

Vậy ta có \( DI = IE \), tức là D đối xứng với E qua I.

Vì vậy, ta hoàn tất việc chứng minh rằng D đối xứng với E qua I.