Để tìm số tự nhiên \( x < 10 \) sao cho phân số

\[
\frac{x + 4}{22}
\]

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, ta cần xem xét điều kiện nào cho phép điều này.

Phân số sẽ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn khi mẫu số của nó chỉ chứa các thừa số là 2 và 5. Ta có:

1. Mẫu số là 22, có thể phân tích thành thừa số nguyên tố như sau:
\[
22 = 2 \times 11
\]
Điều này có nghĩa là trong mẫu số có thừa số 11, do đó, phân số này sẽ không thể viết dưới dạng số thập phân hữu hạn nếu tử số không chứa thừa số 11.

2. Để phân số \(\frac{x + 4}{22}\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, tử số \(x + 4\) phải là bội số của 11.

3. Cụ thể, ta có:
\[
x + 4 = 11k \quad (k \text{ là số nguyên})
\]
Suy ra:
\[
x = 11k - 4
\]

4. Số \(x\) cũng cần thoả mãn \(x < 10\). Ta sẽ thử các giá trị của \(k\) để tìm các giá trị hợp lệ cho \(x\):

- Nếu \(k = 1\):
\[
x = 11 \times 1 - 4 = 7
\]
- Nếu \(k = 2\):
\[
x = 11 \times 2 - 4 = 18 \quad (\text{không hợp lệ vì } x \geq 10)
\]

Vậy chỉ có \(k = 1\) cho ra số tự nhiên hợp lệ nhỏ hơn 10, đó là \(x = 7\).

**Kết luận:** Số tự nhiên \(x < 10\) thỏa mãn điều kiện trên là \(x = 7\).